学年上海市曹杨二中高一下学期期末考试数学试题.docx
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学年上海市曹杨二中高一下学期期末考试数学试题
2018-2019学年上海市曹杨二中高一下学期期末考试
数学试题
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：
每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：
用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：
先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、填空题：
（1-6题每题4分,7-12题每题5分,共54分）
1.已知向量
，
，且
与
垂直，则
的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据
与
垂直即可得出
，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．
【详解】
；
；
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，属于基础题．
2.若
角的终边经过点
，则实数
的值为_______.
【答案】
.
【解析】
【分析】
利用三角函数的定义以及诱导公式求出
的值.
【详解】由诱导公式得
，
另一方面，由三角函数
定义得
，解得
，故答案为：
.
【点睛】本题考查诱导公式与三角函数的定义，解题时要充分利用诱导公式求特殊角的三角函数值，并利用三角函数的定义求参数的值，考查计算能力，属于基础题.
3.已知向量
，则
的单位向量
的坐标为_______.
【答案】
.
【解析】
【分析】
由结论“与
方向相同的单位向量为
”可求出
的坐标.
【详解】
，所以，
，故答案为：
.
【点睛】本题考查单位向量坐标的计算，考查共线向量的坐标运算，充分利用共线单位向量的结论可简化计算，考查运算求解能力，属于基础题.
4.在等差数列
中，
，
，则
的值为_______.
【答案】
.
【解析】
【分析】
设等差数列
的公差为
，根据题中条件建立
、
的方程组，求出
、
的值，即可求出
的值.
【详解】设等差数列
的公差为
，所以
，解得
，
因此，
，故答案为：
.
【点睛】本题考查等差数列的项的计算，常利用首项和公差建立方程组，结合通项公式以及求和公式进行计算，考查方程思想，属于基础题.
5.若
、
为单位向量，且
，则向量
、
的夹角为_______.（用反三角函数值表示）
【答案】
.
【解析】
【分析】
设向量
、
的夹角为
，利用平面向量数量积的运算律与定义计算出
的值，利用反三角函数可求出
的值.
【详解】设向量
、
的夹角为
，
由平面向量数量积的运算律与定义得
，
，
，因此，向量
、
的夹角为
，故答案为：
.
【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算平面向量所成的夹角，解题的关键就是利用平面向量数量积的定义和运算律，考查运算求解能力，属于中等题.
6.已知向量
，
，则
的最大值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
计算出
，利用辅助角公式进行化简，并求出
的最大值，可得出
的最大值.
【详解】
，
，
，
所以，
，
当且仅当
，即当
，等号成立，
因此，
的最大值为
，故答案为：
.
【点睛】本题考查平面向量模的最值的计算，涉及平面向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换思想的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
7.若
，且
，则
是第_______象限角.
【答案】三
【解析】
【分析】
利用二倍角公式计算出
的值，结合
判断出角
所在的象限.
【详解】由二倍角公式得
，
又
，因此，
是第三象限角，故答案为：
三.
【点睛】本题考查利用三角函数值的符号与角的象限之间的关系，考查了二倍角公式，对于角的象限与三角函数值符号之间的关系，充分利用“一全二正弦、三切四余弦”的规律来判断，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.
8.已知
是边长为
的等边三角形，
为
边上（含端点）的动点，则
的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
取
的中点
为坐标原点，
、
所在直线分别为
轴、
轴建立平面直角坐标系，设点
的坐标为
，其中
，利用数量积的坐标运算将
转化为有关
的一次函数的值域问题，可得出
的取值范围.
【详解】如下图所示：
取
的中点
为坐标原点，
、
所在直线分别为
轴、
轴建立平面直角坐标系，
则点
、
、
，设点
，其中
，
，
，
，
因此，
的取值范围是
，故答案为：
.
【点睛】本题考查平面向量数量积的取值范围，可以利用基底向量法以及坐标法求解，在建系时应充分利用对称性来建系，另外就是注意将动点所在的直线变为坐标轴，可简化运算，考查运算求解能力，属于中等题.
9.设当
时，函数
取得最大值，则
______.
【答案】
；
【解析】
f（x）＝sinx－2cosx＝
＝
sin（x－φ），其中sinφ＝
，cosφ＝
，当x－φ＝2kπ＋
（k∈Z）时，函数f（x）取得最大值，即θ＝2kπ＋
＋φ时，函数f（x）取到最大值，所以cosθ＝－sinφ＝－
.
10.走时精确的钟表，中午
时，分针与时针重合于表面上
的位置，则当下一次分针与时针重合时，时针转过的弧度数的绝对值等于_______.
【答案】
.
【解析】
【分析】
设时针转过的角的弧度数为
，可知分针转过的角为
，于此得出
，由此可计算出
的值，从而可得出时针转过的弧度数的绝对值
的值.
【详解】设时针转过的角的弧度数的绝对值为
，
由分针的角速度是时针角速度的
倍，知分针转过的角的弧度数的绝对值为
，
由题意可知，
，解得
，因此，时针转过的弧度数的绝对值等于
，
故答案为：
.
【点睛】本题考查弧度制的应用，主要是要弄清楚时针与分针旋转的角之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题.
11.如图，
为
内一点，且
，延长
交
于点
，若
，则实数
的值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由
，得
，可得出
，再利用
、
、
三点共线的向量结论得出
，可解出实数
的值.
【详解】由
，得
，可得出
，
由于
、
、
三点共线，
，解得
，故答案为：
.
【点睛】本题考查三点共线问题的处理，解题的关键就是利用三点共线的向量等价条件的应用，考查运算求解的能力，属于中等题.
12.为了研究问题方便,有时将余弦定理写成:
利用这个结构解决如下问题:
若三个正实数
，满足
，
，则
_______.
【答案】
【解析】
【分析】
设
的角
、
、
的对边分别为
、
、
，在
内取点
，使得
，设
，
，
，利用余弦定理得出
的三边长，由此计算出
的面积，再利用
可得出
的值.
【详解】设
的角
、
、
的对边分别为
、
、
，
在
内取点
，使得
，
设
，
，
，
由余弦定理得
，
，
同理可得
，
，
，则
，
的面积为
，
另一方面
，解得
，故答案为：
.
【点睛】本题考查余弦定理的应用，问题的关键在于将题中的等式转化为余弦定理，并转化为三角形的面积来进行计算，考查化归与转化思想以及数形结合思想，属于中等题.
二、选择题（每题5分，满分20分）
13.已知等差数列
的公差
，若
的前
项之和大于前
项之和，则（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设等差数列
的前
项和为
，由
并结合等差数列的下标和性质可得出正确选项.
【详解】设等差数列
的前
项和为
，由
，
得
，可得
，
故选：
C.
【点睛】本题考查等差数列性质的应用，解题时要充分利用等差数列下标和与等差中项的性质，可以简化计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
14.已知数列
满足
，
，则
的值为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由
，得
，然后根据递推公式逐项计算出
、
的值，即可得出
的值.
详解】
，
，则
，
，
，因此，
，故选：
B.
【点睛】本题考查数列中相关项的计算，解题的关键就是递推公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
15.在非直角
中，“
”是“
”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
【分析】
由
得出
，利用切化弦的思想得出其等价条件，再利用充分必要性判断出两条件之间的关系.
【详解】若
，则
，
易知
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
因此，“
”是“
”的充要条件，故选：
C.
【点睛】本题考查充分必要性的判断，同时也考查了切化弦思想、两角和差的正弦公式的应用，在讨论三角函数值符号时，要充分考虑角的取值范围，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
16.在
中，若
，则角
的大小为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由平面向量数量积的定义得出
、
与
的等量关系，再由
并代入
、
与
的等量关系式求出
的值，从而得出
的大小.
【详解】
，
，
，由正弦定理边角互化思想得
，
，
，同理得
，
，
，则
，解得
，
中至少有两个锐角，且
，
，所以，
，
，因此，
，故选：
D.
【点睛】本题考查平面向量的数量积的计算，考查利用正弦定理、两角和的正切公式求角的值，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将问题转化为正切来进行计算，属于中等题.
三、解答题：
共76分.
17.设向量
，
，
.
（1）若
，求实数
的值；
（2）求
在
方向上的投影.
【答案】
（1）
；
（2）
.
【解析】
【分析】
（1）计算出
的坐标，然后利用共线向量的坐标表示列出等式求出实数
的值；
（2）求出
和
，从而可得出
在
方向上的投影为
.
【详解】
（1）
，
，
，
，
，
，解得
；
（2）
，
，
在
方向上的投影
.
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查共线向量的坐标运算以及投影的计算，在解题时要弄清楚这些知识点的定义以及坐标运算律，考查计算能力，属于中等题.
18.已知方程
有两根
、
，且
，
.
（1）当
，
时，求
的值；
（2）当
，
时，用
表示
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