秋人教A版必修1第四章指数函数与对数函数数学建模建立函数模型解决实际问题.docx

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秋人教A版必修1第四章指数函数与对数函数数学建模建立函数模型解决实际问题

数学建模　建立函数模型解决实际问题

课标要求

素养要求

收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题，感悟数学模型中参数的现实意义.

通过生活中具体的数学模型，进行提出问题、分析数据、建立模型、检验模型来发展数据分析、数学抽象及数学建模素养.

教材知识探究

数学建模是在20世纪60和70年代进入一些西方国家大学的，我国的几所大学也在80年代初将数学建模引入课堂.经过30多年的发展现在绝大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模课程和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径.大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的，1989年在几位从事数学建模教育的教师的组织和推动下，我国几所大学的学生开始参加美国的竞赛，而且积极性越来越高，近几年参赛校数、队数占到相当大的比例.可以说数学建模竞赛是在美国诞生，在中国开花、结果的.

问题　你知道什么是数学建模吗？

提示　数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要过程包括：

在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，求解模型、检验结果、得出结论，最终解决实际问题.

1.用函数构建数学模型解决实际问题的步骤

（1）观察实际情景：

对实际问题中的变化过程进行分析；

（2）发现和提出问题：

析出常量、变量及其相互关系；

（3）收集数据、分析数据：

明确其运动变化的基本特征，从而确定它的运动变化类型；

（4）选择函数模型：

根据分析结果，选择适当的函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；

（5）求解函数模型：

通过运算推理，求解函数模型；

（6）检验模型：

利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，达到解决问题的目的.

2.数学建模活动的要求

（1）组建团队；

（2）开展研究报告；（3）撰写研究报告；（4）交流展示.

教材拓展补遗

[微判断]

1.在构建函数模型时，经常会遇到没有现成数据可用的情况，这时就需要先收集数据.（√）

2.在用函数构建数学模型解决实际问题时，首先要对实际问题中的变化过程进行分析，析出其中的常量、变量及其相互关系.（√）

3.求出函数模型后，还需要利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，从而达到解决问题的目的.（√）

[微思考]

数学建模活动是一个科学的研究过程，科学研究通常要经历哪几个步骤？

提示　科学研究通常需要经历四个基本步骤

（1）选题；

（2）开题；

（3）做题；

（4）结题.

题型一　数学建模主要步骤的探究

【例1】　[提出问题]在小傅家门口有一个十字型的交通路口（如图所示），小傅就想了，警察叔叔需要指挥多少种情况的汽车运行线路？

[建立模型]　此问题需要分是否可以原路调头的情况来讨论.

（1）每条线路都有往返双向线；

（2）设4条路分别为A，B，C，D；

（3）以A为起始，

①如允许原路调头，则有A→A，A→B，A→C，A→D，

②如不允许原路调头，则有A→B，A→C，A→D.

[求解模型]　第一步：

始线路条数；第二步：

终线路条数.

①如允许原路调头：

则N＝4×4＝16（种）可能；

②如不允许原路调头：

则N＝4×3＝12（种）可能.

[检验结果]　如果允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有16种不同的行车情况，如果不允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有12种不同的行车情况.

【例2】　[提出问题]　两根同样长的蜡烛，点完粗蜡烛要3小时，点完细蜡烛要1小时.现同时点燃两根蜡烛.一段时间后同时熄灭，发现粗蜡烛的长度是细蜡烛的3倍.问两根蜡烛燃烧了多长时间？

[建立模型]　①设两根蜡烛的长度为l厘米，粗、细蜡烛的燃烧速度分别为x、y（厘米/小时），则有y＝l＝3x；

②点燃两根蜡烛一段时间后同时熄灭，剩余粗、细蜡烛的长度分别为R、r，则R＝3r.

[求解模型]　根据条件有：

＝（燃烧时间相同）

化简为l＝4r，即细蜡烛燃烧后的长度是原来长度的，

所以燃烧的时间为＝＝（小时）.

[检验结果]　为了明确各量之间的相互关系，在必要的地方可以加注.

【例3】　[提出问题]　李明玩套圈游戏，游戏规则为：

套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分，李明共套10次，且每个小玩具都至少被套中一次.已知李明共得61分，求其中小鸡被套中过多少次.

[建立模型]　①设每次不可能同时套中2个及2个以上的玩具；

②为了保证“每个小玩具都至少被套中一次”，可设小鸡、小猴、小狗分别被套中x，y，z次，x，y，z∈N＋，然后解不定方程组.

[求解模型]　由条件得不定方程组

②－2×①消去z得7x＋3y＝41.

正整数解为（不合方程①），

[检验结果]　验证得小鸡、小猴、小狗分别被套中5、2、3次，总共得分61分.

【例4】　[提出问题]　甲、乙两人去沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可带一个人4天的食物和水.如果允许将部分食物存放于途中，问其中1人最远可深入沙漠多少千米？

（要求最后两人返回出发点）

[建立模型]　要使其中一位探险者尽可能走得远，另一位须先回，留下食物和水给另一位，所以必须分头行动.问题是在何处留下食物和水？

①经过商议让甲走得更远（最远走4×20＝80（千米），但回程就没有食物和水了），需要乙在适当的地点留下足够的食物和水.

②第1天乙在10千米处留下1份食物和水，到20千米处吃1份留下1份，第2天走到30千米处留下1份食物和水后马上往回返，到20千米处再吃1份，第3天走20千米回出发点.

③第1天甲20千米处吃1份，第2天走到40千米处吃1份，第3天走到60千米处吃1份，第4天走到65千米处然后往返，到50千米处吃1份（到此为止甲自带的食物和水已吃完），第5天走到30千米处吃1份（此处食物和水是乙留下的），第6天走到10千米处吃1份，然后回出发点.

[求解模型]　所谓“错位推进法”，对于本题来说，关键点为“乙在30千米和10千米处给甲留下食物和水”，根据分析与假设推知结论：

其中的一位沙漠探险家最多可深入沙漠65千米.

[检验结果]　从“第6天走到10千米处吃1份，然后回出发点”，感觉似乎还有10千米可以走，但已经回出发点了，考虑一下甲还可以再往前推进5千米吗？

题型二　数学建模活动主要过程的探究

【例5】　关于外卖垃圾问题的分析与解决

[选题]　餐饮业作为我国第三产业中一个传统服务性行业，经历了改革开放进步、数量型扩张、规模连锁发展和品牌提升战略4个阶段，取得突飞猛进的发展.为了满足当今社会快速的生活节奏，“外卖”这一餐饮方式便应运而生.“外卖”这个词是舶来品，原意是离店销售.目前，无论是地处繁华地带的市中心，还是相对冷清的城郊地区，原先并不涉足外卖的餐馆都经营了外卖快餐.外卖有好有坏，它既方便了我们的生活，但同时也制造了大量的垃圾，这些垃圾造成了生态环境的破坏，海洋动物的死亡，也已经威胁到了我们的生活.本文就此问题，展开对外卖垃圾该如何处理的分析与讨论.

[开题]　从具体的处理方式考虑.通过资料我们了解到填埋是我国最重要的垃圾处理方式.而填埋对环境的影响则大多体现在填埋场对周围土地的污染.因此，我们想要在不减少填埋场地所能填埋垃圾的数量的情况下，减少对土地的污染.而填埋数量与填埋场的体积有关.目前，填埋场的深度基本已达最大.因此我们通过改变填埋场的形状，寻找更好的可建为填埋场的图形.在此过程中，我们猜测填埋场对周围土地的污染是以c为半径的.并假设填埋场形状可以为任意形状.在尝试过长方形、正方形、圆形、正三角形后，我们通过公式及定量分析得出圆形为更好的一种选择.因此，在一定的条件下，填埋场建为圆形可以更有效的减少对周围土地的污染.

一、固体废物数据的搜集与处理

我们通过技术手段（代码见附件），在知名外卖网站“饿了么”上面定点抓取了一个地区方圆7500m左右所有已在该网站上注册的店铺的数据约32109条，合计月销量267305份，并写了一个简单的基于字典的分类算法，分类了135655份月销量，并按照一个理想数值为每一种商品产生的垃圾进行估算.分类结果如下：

外卖网站数据分类结果

商品类型

饭类

面类

汉堡

烤肉

饺子

菜类

饮料

汤类

数量

34258

12409

6416

11420

2996

31841

10588

7647

占比

29.23%

10.59%

5.47%

9.74%

2.56%

27.16%

9.03%

6.52%

根据我们的理想数值，其产生的垃圾如下：

网站ele.me理论单月垃圾产生量

垃圾种类

一次性筷子

塑料袋

塑料碗

锡箔

包装纸

数量

113496

195355

111254

1268

72010

占比

23.00%

39.60%

22.55%

0.26%

14.60%

根据网络搜集的市场份额与分类算法的处理偏差可以合理计算出附近外卖垃圾的月总量.

线上外卖网站理论单月垃圾产生量

垃圾种类

一次性筷子

塑料袋

塑料碗

锡箔

包装纸

数量

302656

520947

296677

3381

192027

占比

23.00%

39.60%

22.55%

0.26%

14.60%

根据以上的数据我们可以清楚地看到：

①饭类、面类、菜类占比较高，根据本小组的实践，这类外卖都会产生塑料碗、塑料袋、一次性筷子，而这些塑料是最难处理的，当塑料上沾上油的时候，清洗也是件困难的事情.

②在这些外卖产生的垃圾中，塑料袋最多，一次性筷子其次，塑料碗也较多.

二、固体废弃物处理情况

由问题一我们推出的一个区域的废弃物再结合网络上的数据我们可以合理推理：

垃圾回收方式占比

质量（kg）

未处理（kg）

填埋（kg）

焚烧（kg）

回收（kg）

12077.2085

326.0846295

9988.45529

940.0899096

822.5786709

根据我们在网络上了解的知识：

①大部分的塑料都是以填埋的方式处理；

②筷子、包装纸等可回收的一般是能回收则回收，但是难以回收的会放弃；

③塑料制品一般是填埋.

根据以上的信息并结合我们手上的数据，可以猜想：

预测垃圾单类回收方法占比

垃圾种类

一次性筷子

塑料袋

塑料碗

锡箔

包装纸

质量（kg）

1513.28

1041.89

8900.31

45.64

576.08

未处理（kg）

75.66

104.19

445.02

9.59

23.04

填埋（kg）

75.66

771.00

7743.27

4.11

34.56

焚烧（kg）

15.13

125.03

356.01

0.46

51.85

回收（kg）

1346.82

41.68

356.01

31.49

466.63

[做题]　改变填埋场形状以降低污染

1.问题分析

填埋作为重要的处理方式，可以优化填埋所进行的具体措施来减少污染.我们了解到，填埋的污染主要为土地污染，因此减少土地污染即可.我们通过查找资料得知，填埋对土地的污染大多是以填埋场地为中心，并往四周拓展一定区域，我们假定其是以均匀半径进行拓展.因此可以尝试在同体积的情况下减小其污染的土地.因为目前的填埋场深度基本已达最大深度，所以在此暂不考虑对深度的拓展.假设垃圾填埋场为规则的立体图形.因此要保