高中数学常用公式与证明专题Word格式.doc

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“和定积大”、“积定和小”（“一正二定三等”）（技巧：

拆、凑）

已知x、y都是正数，则有：

①若积xy是定值p，则当x=y时和x+y有最小值；

②若和x+y是定值s，则当x=y时积xy有最大值.

3.常用不等式：

（1）不等式链：

（、均为正数）

（2）柯西不等式：

4.含绝对值不等式：

（1）绝对值的几何意义；

（2）性质：

|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.

（3）推论：

①|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|②|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|

等号成立的条件：

①|a+b|=|a|+|b|ab≥0

②|a-b|=|a|+|b|ab≤0

③|a|-|b|=|a+b|（a+b）b≤0

④|a|-|b|=|a-b|（a+b）b≥0

5.不等式的证明方法：

（1）比较法：

作差、作商

（2）综合法：

利用已知或已证的不等式、定理、性质

（3）分析法

（4）换元法：

三角换元、代数换元

（5）构造法：

构造函数、向量、斜率、复数、数列、距离、定比分点、图形等

（6）反证法

（7）放缩法

（8）判别式法：

（9）数学归纳法

6.不等式的解法：

（1）一元二次不等式ax2+bx+c>

0（或<

0）（a≠0）.（结合图象求解集）如果a与ax2+bx+c同号，则其解集在两根之外；

如果a与ax2+bx+c异号，则其解集在两根之间.简言之：

同号两根之外，异号两根之间.

x1<

x<

x2（x-x1）（x-x2）<

0；

x1或x>

x2（x-x1）（x-x2）>

0.

（2）简单的高次不等式：

（x-x1）（x-x2）…（x-xn）<

0（穿针引线法）

（3）分式不等式：

转化为整式不等式，同时需要注意分母不能为零.需要强调的是奇次重根和偶次重根的区别.

（4）含参数的不等式：

注意根的大小讨论、二次项系数是否为零的讨论、判别式的讨论.

（5）当a>

0时，|x|>

ax2>

a2x>

a或x<

-a（x-a）（x+a）>

|x|<

ax2<

a2-a<

a（x-a）（x+a）<

（6）|ax+b|>

cx+d：

分类讨论

（7）|ax+b|>

|cx+d|：

两边平方

（8）m<

|ax+b|<

n：

分类讨论或直接去绝对值

（9）|ax+b|+|cx+d|<

零点分区间讨论法

（10）无理不等式：

①.

②或.

③.

（11）指数不等式：

若a>

1，则，

若0<

a<

1，则.

（12）对数不等式：

1，则

7.直线的斜率公式：

（1）k=tanα，00≤α＜1800，且α≠900；

（2）（P1，P2且）.

由倾斜角的范围求斜率或由斜率求倾斜角的范围时一定要结合正切函数的图像.

8.直线的倾斜角计算：

（1）若不存在，则；

（2）若存在，当时，；

当时，.

9.直线方程的六种形式：

（注意各种形式适用的范围）

（1）点斜式：

（2）斜截式：

（3）两点式：

（、）

（4）截距式：

（≠0）

横纵截距相等或和为零或互为相反数或绝对值相等、横截距是纵截距的几倍或几分之几等，都应注意截距可能为零！

截距可正、可负、可为零！

（5）一般式：

Ax+By+C=0（其中A、B不同时为0）

（6）参数式：

（t为参数）

10.两条直线的位置关系：

（注意：

斜率可能不存在时另外讨论）

（1）若l1：

y=k1x+b1，l2：

y=k2x+b2，则

①l1∥l2k1=k2且b1≠b2②l1⊥l2k1k2=-1

③l1与l2相交k1≠k2④l1与l2重合k1=k2且b1=b2

（2）若l1：

A1x+B1y+C1=0，l2：

A2x+B2y+C2=0，且A1A2B1B2≠0，则

①l1∥l2②l1⊥l2A1A2+B1B2=0

③l1与l2相交④l1与l2重合

11.直线l1到l2的角公式：

00＜α＜1800

（1）（l1：

y=k2x+b2，k1k2≠-1）

（2）直线l1⊥l2时，直线l1到l2的角是.

12.两直线l1、l2的夹角公式：

00＜α≤900

（2）直线l1⊥l2时，直线l1与l2的夹角是.

13.距离：

（1）点到直线的距离：

（点P（x0，y0），直线l：

Ax+By+C=0）

（2）两平行线间的距离：

（l1：

Ax+By+C1=0，l2：

Ax+By+C2=0）

14.常用的直线系方程：

（1）平行直线系方程：

直线y=kx+b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程.

与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0（m≠C）.

（2）垂直直线系方程：

与直线Ax+By+C=0（AB≠0）垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0.

（3）过定点直线系方程：

经过定点P（x0，y0）的直线系方程为y-y0=k（x-x0）（除直线x=x0）

经过定点P（x0，y0）的直线系方程为A（x-x0）+B（y-y0）=0

经过定点（0，b）的直线系（斜率存在）方程为y=kx+b.

（4）共点直线系方程：

经过两直线l1：

A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为（A1x+B1y+C1）+λ（A2x+B2y+C2）=0（除l2外），其中λ是待定的系数．

15.对称问题：

（结合图形理解）

（1）点关于点对称：

思路：

利用中点坐标公式

点A（a，b）关于原点对称的点A′（-a，-b）.

（2）点关于直线对称：

①点A（a，b）关于x轴的对称点A′（a，-b）.

②点A（a，b）关于y轴的对称点A′（-a，b）.

③点A（a，b）关于y=x的对称点A′（b，a）.

④点A（a，b）关于y=-x的对称点A′（-b，-a）.

⑤点A（a，b）关于x=m的对称点A′（2m-a，b）.

⑥点A（a，b）关于y=n的对称点A′（a，2n-b）.

⑦点A（x0，y0）关于直线l：

Ax+By+C=0的对称点A′.

思路一：

利用中点坐标公式、中点在直线l上、垂直关系.（重点掌握）

思路二：

利用点斜式求出方程，联立方程求出交点，再利用中点坐标公式.

（3）直线关于点对称：

思路一：

轨迹法.（重点掌握）

在给定直线上任取两点，求出这两点关于点的对称点，再求方程.

思路三：

平行直线系.

（4）直线l：

Ax+By+C=0关于直线对称：

①直线l关于x轴对称的直线是：

Ax+B（-y）+C=0

②直线l关于y轴对称的直线是：

A（-x）+By+C=0

③直线l关于y=x对称的直线是：

Ay+Bx+C=0

④直线l关于y=-x对称的直线是：

A（-y）+B（-x）+C=0

⑤直线l关于直线l1：

A1x+B1y+C1=0对称的直线是l′：

思路一：

到角公式法（重点掌握）思路二：

中点坐标法

轨迹法思路四：

待定系数法思路五：

直线系法.

16.Ax+By+C>

0或<

0所表示的平面区域：

设直线l：

Ax+By+C=0，则Ax+By+C>

0所表示的平面区域是：

若B≠0，当B与Ax+By+C同号时，表示直线l的上方的区域；

当B与Ax+By+C异号时，表示直线l的下方的区域.简言之，同号在上，异号在下.

若B=0，当A与Ax+By+C同号时，表示直线l的右方的区域；

当A与Ax+By+C异号时，表示直线l的左方的区域.简言之，同号在右，异号在左.

一般的，用特殊点（如原点等）代入能更快判断表示的平面区域.

17.求解线性规划问题的步骤是：

（1）根据实际问题的约束条件列出不等式；

（2）作出可行域，写出目标函数；

（3）确定目标函数的最优位置，从而获得最优解.

18.设曲线F：

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0可以表示成（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=0的形式，则曲线F表示两条直线.

19.设直线l：

Ax+By+C=0，两点M（x1，y1）、N（x2，y2），若直线l与线段MN相交，则（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）≤0.

20.圆的方程四种形式：

（1）圆的标准方程：

（2）圆的一般方程：

x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>

0）

▲Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是.

（3）圆的参数方程：

（为参数）

（4）圆的直径式方程：

（4种证法）

（圆的直径的端点是、）

21.圆系方程：

（1）过直线l：

Ax+By+C=0与圆C：

x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程是x2+y2+Dx+Ey+F+λ（Ax+By+C）=0，λ是待定系数．

（2）共交点圆系：

过圆C1：

x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：

x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆方程是x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（除圆C2），其中λ≠－1是待定系数．

特别的，当λ=－1时，（D1－D2）x+（E1－E2）y+（F1－F2）=0为两圆公共弦所在的直线方程.（要求：

两圆必须相交！

）

22.点与圆的位置关系：

点P（x0，y0）、圆C：

，d=|PC|，则：

d>

r点P在圆外；

d=r点P在圆上；

d<

r点P在圆内.

注：

若点P是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离为|PC|+r，最小距离为|PC|-r.

23.直线与圆的位置关系：

直线：

Ax+By+C=0、圆C：

，则：

r相离△<

d=r相切△=0；

r相交△>

其中，，△表示由直线方程和圆方程联立得到的二次方程的判别式.

（1）当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d+r，最小距离为d-r.

（2）当直线与圆相交时，弦长l，弦心距d，半径r满足：

.

24.弦长公式：

若直线与二次曲线相交于A、B两点，则由二次曲线方程和联立可得，则知直线与二次曲线所截得的弦长|AB|

25.两圆的位置关系：

（1）代数法：

由两个圆的方程组成二元二次方程组，

若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；

若方程组有两组相同的实数解（或只有一组实数解），则两圆相切；

若方程组没有实数解，则两圆相离或内含.

（2）几何法：

设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1、r2，|O1O2|=d，则：

两圆相离d>

r1+r24条公切线；

两圆外切d=r1+r23条公切线；

两圆相交|r1-r2|<

r1+r22条公切线；

两圆内切d=|r1-r2|1条公切线；

两圆内含0≤d<

|r1-r2|没有公切线.

26.圆的切线方程求法：

（1）若点（x0，y0）在圆x2+y2=r2上，则切线方程为x0x+y0y=r2.

（2）