四川省达州市大竹县文星中学届高三考前适应性检测数学理试题.docx
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四川省达州市大竹县文星中学届高三考前适应性检测数学理试题
四川省大竹县文星中学2015届高三6月考前适应性检测
数学（理）试题
考试时间：
120分钟；满分：
150分
第I卷（选择题）
一、选择题：
共12题每题5分共60分
1．设集合
，
，则
A.
B.
C.
D.
2．已知i是虚数单位，若复数
是纯虚数，则实数
等于
A.2
B.
C.
D.
3．“
”是“曲线
为双曲线”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4．已知函数
是奇函数，且当
时，
，则
A.
B.
C.
D.
5．设
，
，
，则
的大小关系是
A.
B.
C.
D.
6．圆
的圆心坐标及半径分别是
A.
B.
C.
D.
7．若一个底面是正三角形的三棱柱的正（主）视图如图所示，则其侧面积等于
A.3B.4C.5D.6
8．将函数
的图象向左平移
个单位，再向上平移
个单位，所得图象的函数解析式是
A.
B.
C.
D.
9．设关于x的不等式（ax－1）（x+1）<0（a∈R）的解集为{x|－1A.－2B.－1C.0D.1
10．已知双曲线
的一条渐近线为
，则它的离心率为
A.
B.
C.
D.
11．某生产厂商更新设备，已知在未来x年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x满足函数关系
，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为
A.3B.4C.5D.6
12．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC。
若AB=AC=AA1=1，BC=
，则异面直线A1C与B1C1所成的角为
A.30° B.45° C.60° D.90°
第II卷（非选择题）
二、填空题：
共4题每题5分共20分
13．已知
是等差数列，那么
=______；
的最大值为______.
14．已知
为等差数列，
为其前
项和.若
，
，则公差
________；
的最小值为 .
15．已知函数
是定义在R上的偶函数，当
0时，
，
如果函数
（m∈R）恰有4个零点，则m的取值范围
是____.
16．给出定义：
若
（其中
为整数），则
叫做离实数
最近的整数，记作
，即
.在此基础上给出下列关于函数
的四个命题：
①
的定义域是R
，值域是
；
②点
是
的图像的对称中心，其中
；
③函数
的最小正周期为1
；
④函数
在
上是增函数.
则上述命题中真命题的序号是 .
三、解答题：
共9题每题12分共108分
17．在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知
=
.
（Ⅰ）求
的值;
（Ⅱ）若cosB=
△ABC的周长为5,求b的长.
18．记函数fn（x）=（1+x）n-1（n≥2,n∈N*）的导函数为f'n（x）,函数g（x）=fn（x）-nx.
（Ⅰ）讨论函数g（x）的单调区间和极值;
（Ⅱ）若实数x0和正数k满足:
求证:
019．某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：
台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.
（Ⅰ）当a＝b＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n，比较m，n的大小关系；
（Ⅱ）在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X的分布列和数学期望.
（Ⅲ）若a=1，记乙型号电视机销售量的方差为
，根据茎叶图推断b为何值时，
达到最小值.（只需写出结论）
20．如图,底面是正三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D、E、F分别是BC、CA、AA1的中点,AA1=AB=4.
（Ⅰ）求证:
EF∥平面AB1D;
（Ⅱ）求三棱锥B1-AA1D的体积.
21．设数列
是各项均为正数的等比数列，其前
项和为
，若
，
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）对于正整数
），求证：
“
且
”是“
这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；
（3）设数列
满足：
对任意的正整数
，都有
，且集合
中有且仅有3个元素，试求λ
的取值范围.
22．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物
的准线方程为
过点M（0,-2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）.直线
过点M与抛物线交于两点B,C，与直线OA交于点N.
（1）求抛物线的方程;
（2）试问:
的值是否为定值？
若是，求出定值；若不是，说明理由。
参考答案
1-5AAADD
6-10ADADA
11-12BC
13.16,16
14.12，
15.
16.①③
17.（Ⅰ）由正弦定理,设
=
=
=k,
则
=
=
所以
=
.
即（cosA-2cosC）sinB=（2sinC-sinA）cosB,
化简可得sin（A+B）=2sin（B+C）.
又A+B+C=π,所以sinC=2sinA.因此
=2.
（Ⅱ）由
=2得c=2a,
由余弦定理及cosB=
得
b2=a2+c2-2accosB=a2+4a2-4a2×
=4a2.
所以b=2a.
又a+b+c=5,从而a=1,因此b=2.
18. （Ⅰ）由已知得,g（x）=fn（x）-nx=（1+x）n-1-nx,∴g'（x）=n.
①当n≥2且n是偶数时,n-1是奇数,
由g'（x）>0,得x>0;由g'（x）<0,得x<0.
∴函数g（x）的递减区间是（-∞,0）,递增区间是（0,+∞）,
故函数g（x）的极小值为g（0）=0,没有极大值.
②当n≥2且n是奇数时,n-1是偶数,
由g'（x）>0,得x<-2或x>0;由g'（x）<0,得-2∴函数g（x）的递增区间是（-∞,-2）,（0,+∞）,递减区间是（-2,0）,
故函数g（x）的极大值为g（-2）=2n-2,极小值为g（0）=0.
（Ⅱ）易知f'n（x）=n（1+x）n-1,由
得:
∴1+x0=
x0=
显然（n+1）>0,
设h（k）=（nk-1）（1+k）n+1（k>0）,
则h'（k）=n（1+k）n+n（1+k）n-1·（nk-1）=n（n+1）·k（1+k）n-1>0.
∴h（k）是（0,+∞）上的增函数,∴h（k）>h（0）=0.
故x0>0.
又x0-k=
由
（1）知,g（x）=（1+x）n-1-nx是（0,+∞）上的增函数,
故当x>0时,g（x）>g（0）=0,即（1+x）n>1+nx,
∴（1+k）n+1>1+（n+1）k,∴x0-k<0,x0综上所述,019.（Ⅰ）解：
根据茎叶图可得甲组数据的平均数为
;
甲组数据的平均数为
;
由茎叶图知甲型号电视机的“星级卖场”的个数为
;
甲型号电视机的“星级卖场”的个数为
.
所以
（Ⅱ）解：
由题意得
的所有可能取值为0,1,2,
且
所以
的分布列为：
X
0
1
2
P
所以
.
（Ⅲ）解：
当b=0时，
达到最小值.
20.（Ⅰ）连接A1B交AB1于O,连接OD,在△BA1C中,O为BA1中点,D为BC中点,∴OD∥A1C.
又∵E、F分别为CA、AA1的中点,∴EF∥A1C,因此EF∥OD.
∵OD⊂平面AB1D,EF⊄平面AB1D,
∴EF∥平面AB1D.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,OD∥A1C,∵OD⊂平面AB1D,A1C⊄平面AB1D,∴A1C∥平面AB1D,∴点A1到平面AB1D的距离等于点C到平面AB1D的距离,
∵S△ADC=
S△ABC=2
,∴
=
×4×2
.
21.解：
（1）
数列
是各项均为正数的等比数列，
，
，
又
，
，
，
；
（2）（ⅰ）必要性：
设
这三项经适当排序后能构成等差数列，
①若
，则
，
，
，
. ②若
，则
，
，左边为偶数，等式不成立，
③若
，同理也不成立，
综合①②③，得
，所以必要性成立.
（ⅱ）充分性：
设
，
，
则
这三项为
，即
，调整顺序后易知
成等差数列，所以充分性也成立.
综合（ⅰ）（ⅱ），原命题成立.
（3）因为
，
即
，（*）
当
时，
，（**）
则（**）式两边同乘以2，得
，（***）
（*）－（***），得
，即
，
又当
时，
，即
，适合
，
，
，
时，
，即
；
时，
，此时
单调递减，
又
，
，
，
，
.
22.
（1）由题设知，
，即
所以抛物线的方程为
，
（2）因为函数
的导函数为
，设
，
则直线
的方程为
，因为点
在直线
上，所以
．
联立
解得
．所以直线
的方程为
．
设直线
方程为
，
得
，
所以
．由
得
．所以
故
为定值2．
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