江西省赣州市寻乌中学学年高二上学期期末考.docx

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江西省赣州市寻乌中学学年高二上学期期末考

2017-2018学年度江西省寻乌中学上学期期末考试

高二理科数学

第Ⅰ卷

一、选择题：

本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.命题“且”的否定形式是（）

A．且B．或

C．且D．或

2.若复数（其中是实数），则复数在复平面内所对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3.已知均为实数，则“”是“构成等比数列”的（）

A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4.抛物线的准线方程是（）

A．B．C.D．

5.在等差数列中，，则（）

A．7B．8C.9D．10

6.已知的两个顶点，周长为22，则顶点的轨迹方程是（）

A．B．C.D．

7.函数，则（）

A．为函数的极大值点B．为函数的极小值点

C.为函数的极大值点D．为函数的极小值点

8.如图所示，在正方体中，已知分别是和的中点，则与所成角的余弦值为（）

A．B．C.D．

9.已知数列，，则的值为（）

A．5B．C.D．

10.若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（）

A．B．C.D．

11.已知，且满足，那么的最小值为（）

A．B．C.D．

12.已知是双曲线的左、右焦点，若直线与双曲线交于两点，且四边形为矩形，则双曲线的离心率为（）

A．B．C.D．

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.若，则．

14.．

15.椭圆的中心在坐标原点，左、右焦点在轴上，已知分别是椭圆的上顶点和右顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率为．

16.已知，若且，则的取值范围为．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.设数列满足．

（1）求的通项公式及前项和；

（2）已知是等差数列，且满足，求数列的通项公式．

18.已知抛物线，焦点对准线的距离为4，过点的直线交抛物线于两点．

（1）求抛物线的方程；

（2）如果点恰是线段的中点，求直线的方程．

19.如图，直三棱柱中，分别是的中点，．

（1）证明：

平面；

（2）求锐二面角的余弦值．

20.在圆上任取一点，点在轴的正射影为点，当点在圆上运动时，动点满足，动点形成的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）点在曲线上，过点的直线交曲线于两点，设直线斜率为，直线斜率为，求证：

为定值．

21.如图，四棱锥中，底面为平行四边形，．

（1）证明：

平面平面；

（2）若二面角为，求与平面所成角的正弦值．

22.设函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若对恒成立，求实数的取值范围；

（3）求整数的值；使函数在区间上有零点．

试卷答案

一、选择题

1-5:

DCADC6-10:

BAADC11、12：

CD

二、填空题

13.-714.215.16.

三、解答题

17.

（1）由题设可知是首项为1，公比为3的等比数列，

所以，

；

（2）设数列的公差，

∵，

∴，∴，

∴．

18.

（1）由题设可知，所以抛物线方程为；

（2）方法一：

设，则，

又，相减整理得，

所以直线的方程是，即．

方法二：

由题设可知直线的斜率存在，

设直线的方程为，

由，消去，得，

易知，

又所以，

所以直线的方程是，即．

19.解：

（1）连结，交于点，连结，则为的中点，因为为的中点，所以，又因为平面平面，∴平面；

（2）由，可知，以为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，

设是平面的法向量，则

即，

可取，

同理，设是平面的法向量，则，

可取，

从而，

所以锐二面角的余弦值为．

20.解：

（1）设点坐标为，点的坐标为，则，

因为点在圆，所以①

把代入方程①，得，即，

所以曲线的方程为；

（2）方法一：

由题意知直线斜率不为0，设直线方程为，，

由消去，得，

易知，得，

．

所以为定值．

方法二：

（1）当直线斜率不存在时，，

所以；

（2）当直线斜率存在时，设直线方程为，

由消去，得，

易知，，

，所以为定值．

21.解：

（1）∵，，平面，平面，

∴平面，平面，

∴，

又，

∴，

又，

∴，

，又因为，

∴，

又∵平面平面，

∴平面，而平面，∴平面平面；

（2）由

（1）所证，，

所以即为二面角的平面角，即，

而，所以，

分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．

则，

所以，，

设平面的法向量为，则，

即可取，

∴与平面所成角的正弦值为．

22.解：

（1），

∴，∴所求切线方程为，即；

（2）∵，对恒成立，∴，对恒成立．

设，令，得，令得，

∴在上递减，在上递增，

∴，∴；

（3）令得，当时，，

∴的零点只能在上，

在上大于0恒成立，∴函数在上递增．

∴在上最多有一个零点，

∵，

∴由零点存在的条件可得在上有一个零点，且，

∴．