2012深圳杯数学建模夏令营C题解答Word下载.docx

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全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

3Ｄ仿真机房建模

摘要：

本文主要研究根据机房的基础设施状态，按照行业规范要求合理地

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布置机柜，分布任务，尽量避免局部地区过热问题，我们根据题目所给定的一些数据和信息分析建立了扩散传播模型、采用了线性回归方法、并基于k~e两方程紊流模型建立数学模型。

首先，本文将绿色机房设计聚焦于机房内热环境分析，然后我们根据附件

1给出的数据，通过采用MATLAB软件绘制出机房温度和流场分布，之后求出温度的极值，从而求出温度最高点。

其次，在确定该机房热分布时，考虑到机柜的对称性，本文将每个机柜作为一个热源，建立扩散传播模型，将热量扩散模拟为不同浓度空气在机房进行流通，通过冷通道散发的冷气流与机柜散发的热气流接触，使得机房不同方位的温度不同，根据最后推导的空气浓度表达式，基于任务量，得出整体机房的热分布情况。

再次，经过对题目的分析，基于上一部分所得模型和附件2中的数据，在充分考虑机房对称性的基础上，选取任务量对称的温度，采用matlab软件计算出温度极值点，再整合机柜任务量对温度极值点的权向量，得出机柜任务量与温度的相关度，再通过线性回归，最后得到最低温度的分配方案。

最后，模型四以机房空气流组织为研究对象，采用k~e两方程紊流模型建立数学模型，对机房的冷通道出口风速与机房室内的温度的关系进行了详细的动态描述，使得气流动态化，从而总结出通过控制冷通道出风口风速来调节室内的温度，达到《电子信息系统机房设计规范》C级要求。

在本次模型建立中，我们得出以下结论：

1.热量在温度极值点会发生集中现象

2.在机房对称的情况下，温度分布还是会收到各种干扰，从而导致温度分布不均

3.当机房开机时应该加大冷通道的通风速度，关机的时候降低冷通道的通风速度

关键词：

热分布 机房 气流 扩散传播

一、问题重述

1.1问题背景

由于高密度计算、多任务计算的需要，越来越多的高性能数据中心或互联网中心（DC、IDC）正逐渐建成。

在现代的数据中心内，由于刀片服务器成本与性价比高，体积小而被广泛使用。

由于自身能源与冷却条件限制，这类大规模的数据中心或许每年需要花费数百万美元，主要用于计算设备及系统冷却所需的能源费用。

因此有必要提高数据中心设备的能效，极大化数据中心的能源利用率及计算能力。

大约在上世纪90年代后期，IBM、HP等公司首先提出绿色数据中心的概念，并受到世界各国的广泛重视。

1.2提出问题

（1）根据附件1的数据，绘出冷、热通道的热分布及流场分布及室内最高温度位置。

（2）建立描述该问题热分布的数学模型及算法，并与测试案例进行比较。

（3）如果定义该机房的总体任务量为1，根据你的模型及附件1的流场数据，确定服务器实际任务量为0.8及0.5的最优任务分配方案，并给出室内最高温度。

（4）如果按照《电子信息系统机房设计规范》（附件3）C级要求控制机房温度，讨论服务器设计任务量一定条件下，如何控制空调的送风速度或送风温度（可以通过送风槽的出口风速与温度来描述）。

二、问题分析

（1）由于整个机房内不同方位的温度是有差异的，根据附件1的数据，采用MATLAB软件绘制出冷热通道的热分布图与流场分布图，并根据热分布图得出了机房室内的最高温度。

（2）由于机柜散发热量及冷通道的气体传播的途径有很多，本题忽略其他因素，只考虑在空气中传播，建立大气扩散模型，通过与测试案例得出机房室内的热分布情况。

（4）根据《电子信息系统机房设计规范》C级要求，在一定任务量的基础上，以机房内的气流组织为研究对象，采用k~e两方程紊流模型建立数学模型，并得出了空调如何控制风速来调节机房室内的温度。

三、问题假设

（1）假设每个机柜散发的热量是相通的，且热量分布稳定。

（2）假设机柜散发热量是以相同溶度的热空气在机房传播。

（3）假设机柜散发热与冷通道的冷气在机房的分布是不受机房风速影响。

（4）假设机房室内气体为不可压缩流体，且满足Boussinesq假设：

认为流体密度的变化仅对浮升力产生影响。

（5）假定流场具有高的紊流Re数，流体的紊流粘性具有各向同性。

（6）气流为低速流动，可忽略由流体粘性力做功所引起的耗散热。

（7）假设一点的温度只与一个机柜相关。

（8）假设温度与机柜任务量满足指数函数关系。

（9）假设温度最高点只发生在温度极值点上

四、符号说明

ki（i=x，y，z）：

机房内任意一点的扩散系数

C（x，y，z，t）：

机房内任意一点热空气的浓度

Ux，Uy，Uz：

为x，y，z方向风速

Kx，Ky，Kz：

为x，y，z方向上的扩散系数

p0：

单位时间内机柜散发热空气的速率

Q0：

从机柜散发出的热流总量

Q1：

在（t，t+Dt）内通过某空间域的热流量

Q2：

在某空间域热流量的增量

¶

x，¶

y，¶

z：

分别为用浓度标准差表示的x，y，z轴上热量的扩散参数

vs：

热空气与冷空气接触的系数；

S：

机柜散发热的扩散的系数

K、t：

分别为风速与任意扩散时刻

H：

机柜散发出的热源距地面的高度

G：

为重力加速度；

K：

为流体紊流动能；

P：

为时均压力；

C：

为热源强度；

Pr：

为充分紊流时的普朗特数；

T：

为流体温度；

T0：

为参考温度；

Ui：

为速度分量，当i=1、2、3时分别代表X、Y、Z方向；

ε：

为紊流能量耗散率；

m、s：

分别为层流和紊流的动力粘性系数；

ρ：

为流体密度；

β：

为流体体积膨胀系数。

五、模型建立及求解

5.1模型一

经过对附件1的数据和题目的分析，直接使用MATLAB软件将该机房的二维热分布及二维的流场分布图绘制如下图1由附件1得到的通道二、三热分布图和流场分布图：

图1.1通道二热分布图 图1.2通道二流场分布图

图1.4通道三热分布图 图1.4通道三流场分布图

图1由附件1得到的通道二、三热分布图和流场分布图

同时，通过MATLAB求出极值（MATLAB计算程序见附录Ⅰ）：

通道二：

Imregionalmax=41.3707

Points=

3.3697 2.7000

通道三：

Imregionalmax=47.8571

3.3697 2.4091

5.2模型二

机房的热分布模型

记热量开始扩散的时刻t=0，并且以热源作为扩散中心，则可将t时刻机

房内任意一点（x，y，z）的热空气浓度记为C（x，y，z，t）。

假设单位时间内通过单位法向量面积的热流量与浓度梯度成正比，则有

q=-ki×

gradC

其中ki（i=x，y，z）是扩散系数，grad表示浓度梯度。



（1）

假设机房空间W的体积为V，包括机房空间W的曲面为一规则的球面，设

其表面面积S

，外法线向量为n=æ

-x，-y，ö

，

表 ç

1÷

z

è

z ø

则在（t，t+Dt）内流通过空间域W的热流量可以表示为：

=ò

t+Dt

Q1 t



ò

q×

ndsdt

s



（2）

在空间W所包围的区域内空气中的热流量增量可表示为：

Q2=ò

[C（x，y，z，t+Dt）-C（x，y，z，t）]dV

V

（3）

t+Dt

由机柜散发的的总热流量为：

Q0=ò

t ò

p0dVdt

W

（4）

由质量守恒可得出：

Q0=Q1+Q2，即，

[C（x,y,z,t+Dt）-C（x,y,z,t）]dV+

t+Dtt

ndsdt=

ò

p0dVdt

（5）

V s W

根据曲面积分Gauss公式得：

ò

nds=ò

divqdV

s V

（6）

则式子（5）可以转换成

ú

ë

é

C（x，y，z，t+Dt）-C（x，y，z，t）×

Dù

ê

Dt

tdV

û

+ò

由于：

t+Dtt

divqdVdt=ò

t

（7）

（ +D） （ ）

t+Dtkdiv（gradC）dt

C=limC

x，y，z，t

t-C

=limt

（8）

t Dt®

0 Dt Dt®

0 Dt

故式子（7）即可转换成：

¶

tû

Cù

dV×

Dt+

divqdV×

Dt=

p0dV×

Dt

（9）

V V

化简得：

dV+

W

divqdV=p

（10）

tú

ò

0

根据A.Fick扩散微分方程式中：

C+ ¶

C

¶

C ¶

2V

t Ux¶

X

+Uy¶

Y

+Uz¶

Z

=KX

X2+KY¶

Y2+KZ¶

Z2

（11）

其中：

C为常温气体浓度；

t为时间；

Ux ，Uy，Uz为x，y，z方向风速；

Kx，Ky，Kz为x，y，z方向上的扩散系数。

假设机房热量是在无风条件下扩散