线性代数应用实例Word文档格式.doc

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00011

得到，三次多项函数为，故近似等于。

在一般情况下，当给出函数在n+1个点上的值时，就可以用n次多项式对进行插值。

l在数字信号处理中的应用-----数字滤波器系统函数

u

x1

y

1/4

-1/4

z-1

x3

x2

3/8

图1某数字滤波器结构图

数字滤波器的网络结构图实际上也是一种信号流图。

它的特点在于所有的相加节点都限定为双输入相加器；

另外，数字滤波器器件有一个迟延一个节拍的运算，它也是一个线性算子，它的标注符号为z-1。

根据这样的结构图，也可以用类似于例7.4的方法，求它的输入输出之间的传递函数，在数字信号处理中称为系统函数。

图1表示了某个数字滤波器的结构图，现在要求出它的系统函数，即输出y与输入u之比。

先在它的三个中间节点上标注信号的名称x1,x2,x3，以便对每个节点列写方程。

由于迟延算子z-1不是数，要用符号代替，所以取q=z-1，按照图示情况，可以写出：

写成矩阵形式为

经过移项后，系统函数W可以写成：

现在可以列写计算系统函数的MATLAB程序ea705，

symsq %规定符号变量

Q（1,2）=q;

Q（2,3）=3/8*q-1/4;

Q（3,1）=1;

%给非零元素赋值

Q（3,3）=0;

%给右下角元素Q（3,3）赋值后，矩阵中未赋值元素都自动置零

P=[2;

1/4;

0] %给P赋值

W=inv（eye（3）-Q）*P %用信号流图求传递函数的公式

程序运行的结果为

W=[-16/（-8+3*q^2-2*q）-2*q/（-8+3*q^2-2*q） ]

[-2*（3*q-2）/（-8+3*q^2-2*q）-2/（-8+3*q^2-2*q）]

[-16/（-8+3*q^2-2*q）-2*q/（-8+3*q^2-2*q）]

我们关心的是以y=x3作为输出的系统函数，故再键入pretty（W（3））

整理后得到

用线性代数方法的好处是适用于任何复杂系统，并能用计算机解决问题。

l信号与系统课程中的应用-----线性时不变系统的零输入响应

描述n阶线性时不变（LTI）连续系统的微分方程为

n≥m

已知y及其各阶导数的初始值为y（0），y

（1）（0），…，y（n-1）（0），求系统的零输入响应。

当LTI系统的输入为零时，其零输入响应为微分方程的齐次解（即令微分方程等号右端为0），其形式为（设特征根均为单根）

其中p1，p2，…，pn是特征方程a1ln+a2ln-1+…+anl+an+1=0的根，它们可用roots（a）语句求得。

各系数C1，…，Cn由y及其各阶导数的初始值来确定。

对此有

C1+C2+…+Cn=y0y0=y（0）

p1C1+p2C2+…+pnCn=Dy0（Dy0表示y的导数的初始值y

（1）（0））

…………………………………

写成矩阵形式为

即V·

C=Y0，其解为C=V\Y0

式中

V为范德蒙矩阵，在MATLAB的特殊矩阵库中有vander函数可直接生成。

MATLAB程序ea703.m

a=input（'

输入分母系数向量a=[a1，a2，...]='

）;

n=length（a）-1;

Y0=input（'

输入初始条件向量Y0=[y0，Dy0，D2y0，...]='

p=roots（a）;

V=rot90（vander（p））;

c=V\Y0'

;

dt=input（'

dt='

tf=input（'

tf='

）

图2三阶系统的零输入响应

t=0:

dt:

tf;

y=zeros（1，length（t））;

fork=1:

ny=y+c（k）*exp（p（k）*t）;

end

plot（t，y），grid

n程序运行结果

用这个通用程序来解一个三阶系统，运行此程序并输入

a=[3，5，7，1];

dt=0.2;

tf=8;

而Y0取

[1，0，0];

[0，1，0];

[0，0，1]

三种情况，用holdon语句使三次运行生成的图形画在一幅图上，得到图2。

l减肥配方的实现

设三种食物每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量如下表，表中还给出了80年代美国流行的剑桥大学医学院的简捷营养处方。

现在的问题是：

如果用这三种食物作为每天的主要食物，那么它们的用量应各取多少？

才能全面准确地实现这个营养要求。

营养

每100g食物所含营养（g）

减肥所要求的每日营养量

脱脂牛奶

大豆面粉

乳清

蛋白质

36

51

13

33

碳水化合物

52

34

74

45

脂肪

7

1.1

设脱脂牛奶的用量为x1个单位（100g），大豆面粉的用量为x2个单位（100g），乳清的用量为x3个单位（100g），表中的三个营养成分列向量为：

则它们的组合所具有的营养为

使这个合成的营养与剑桥配方的要求相等，就可以得到以下的矩阵方程：

用MATLAB解这个问题非常方便，列出程序ag763如下：

A=[36,51,13;

52,34,74;

0,7,1.1]

b=[33;

45;

3]

x=A\b

程序执行的结果为：

即脱脂牛奶的用量为27.7g，大豆面粉的用量为39.2g，乳清的用量为23.3g，就能保证所需的综合营养量。

l人口迁徙模型

设在一个大城市中的总人口是固定的。

人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。

每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区。

假如开始时有30%的居民住在市区，70%的居民住在郊区，问十年后市区和郊区的居民人口比例是多少？

30年、50年后又如何？

这个问题可以用矩阵乘法来描述。

把人口变量用市区和郊区两个分量表示，即其中xc为市区人口所占比例，xs为郊区人口所占比例，k表示年份的次序。

在k=0的初始状态：

。

一年以后，市区人口为xc1=（1-0.02）xc0+0.06xs0，郊区人口xs1=0.02xc0+（1-0.06）xs0，用矩阵乘法来描述，可写成：

此关系可以从初始时间到k年,扩展为,用下列MATLAB程序进行计算：

A=[0.94,0.02;

0.06,0.98]

x0=[0.3;

0.7]

x1=A*x0,

x10=A^10*x0

x30=A^30*x0

x50=A^50*x0

程序运行的结果为：

无限增加时间k，市区和郊区人口之比将趋向一组常数0.25/0.75。

为了弄清为什么这个过程趋向于一个稳态值，我们改变一下坐标系统。

在这个坐标系统中可以更清楚地看到乘以矩阵A的效果。

选u1为稳态向量[0.25,0.75]T的任意一个倍数，令u1=[1,3]T和u2=[-1,1]T。

可以看到，用A乘以这两个向量的结果不过是改变向量的长度，不影响其相角（方向）：

初始向量x0可以写成这两个基向量u1和u2的线性组合；

因此

式中的第二项会随着k的增大趋向于零。

如果只取小数点后两位，则只要k>

27，这第二项就可以忽略不计而得到

适当选择基向量可以使矩阵乘法结果等价于一个简单的实数乘子，避免相角项出现，使得问题简单化。

这也是方阵求特征值的基本思想。

这个应用问题实际上是所谓马尔可夫过程的一个类型。

所得到的向量序列x1,x2,...,xk称为马尔可夫链。

马尔可夫过程的特点是k时刻的系统状态xk完全可由其前一个时刻的状态xk-1所决定，与k-1时刻之前的系统状态无关。

l交通流的分析

某城市有两组单行道，构成了一个包含四个节点A,B,C,D的十字路口如图6.5.2所示。

在交通繁忙时段的汽车从外部进出此十字路口的流量（每小时的车流数）标于图上。

现要求计算每两个节点之间路段上的交通流量x1,x2,x3,x4。

在每个节点上，进入和离开的车数应该相等，这就决定了四个流通的方程：

节点A:

x1+450＝x2+610

节点B:

x2+520＝x3+480

节点C:

x3+390＝x4+600

节点D:

x4+640＝x2+310

将这组方程进行整理，写成矩阵形式：

图3 单行线交通流图

其系数增广矩阵为：

用消元法求其行阶梯形式，或者直接调用U0=rref（[A,b]）,可以得出其精简行阶梯形式为

注意这个系数矩阵所代表的意义，它的左边四列从左至右依次为变量x1,x2,x3,x4的系数，第五列则是在等式右边的常数项。

把第四列移到等式右边，可以按行列写恢复为方程，其结果为：

x1=x4+330,

x2=x4+170,

x3=x4+210

0＝0

由于最后一行变为全零，这个精简行阶梯形式只有三行有效，也就是说四个方程中有一个是相依的，实际上只有三个有效方程。

方程数比未知数的数目少，即没有给出足够的信息来唯一地确定x1,x2,x3,和x4。

其原因也不难从物理上想象，题目给出的只是进入和离开这个十字路区的流量，如果有些车沿着这四方的单行道绕圈，那是不会影响总的输入输出流量的，但可以全面增加四条路上的流量。

所以x4被称为自由变量，实际上它的取值也不能完全自由，因为规定了这些路段都是单行道，x1,x2,x3,和x4。

都不能取负值。

所以要准确了解这里的交通流情况，还应该在x1,x2,x3,和x4中，再检测一个变量。

l价格平衡模型

在Leontiff成为诺贝尔奖金获得者的历史中，线性代数曾起过重要的作用，我们来看看他的基本思路。

假定一个国家或区域的经济可以分解为n个部门，这些部门都有生产产品或服务的独立功能。

设单列n元向量x是这些n个部门的产出，组成在Rn空间的产出向量。

先假定该社会是自给自足的经济，这是一个最简单的情况。

因此各经济部门生产出的产品，完全被自己部门和其它部门所消费。

Leontiff提出的第一个问题是，各生产部门的实际产出的价格p应该是多少，才能使各部门的收入和消耗相等，以维持持续的生产。

Leontiff的输入输出模型中的一个基本假定是：

对于每个部门，存在着一个在Rn空间单位消耗列向量vi，它表示第i个部门每产出一个单位（比如100万美金）产品，由本部门和其他各个部门消耗的百分比。

在自给自足的经济中，这些列向量中所有元素的总和应该为1。

把这n个vi，并列起来，它可以构成一个n×

n的系数矩阵，可称为内部需求矩阵V。

举一个最简单的例子，假如一个自给自足的经济体由三个部门组成，它们是煤炭业、电力业和钢铁业。

它们的单位消耗列向量和销售收入列向量p如下表：

由下列部门购买

每单位输出的消耗分配

销售价格p

（收入）

煤炭业

电力业

钢铁业

0.

0.4

0.6

pc

0.1

0.2

pe

钢铁