三年高考(2017-2019)高考数学真题分项汇编专题20不等式选讲理(含解析)Word格式.docx
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【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题,考查学生对于基本不等式的变形和应用能力,需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.
2.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若时,,求的取值范围.
(2)
(1)当a=1时,.
当时,;
当时,.
所以,不等式的解集为.
(2)因为,所以.
当,时,.
所以,的取值范围是.
【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式,熟记分类讨论的方法求解即可,属于常考题型.
3.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设,且.
(1)求的最小值;
(2)若成立,证明:
或.
(2)见详解.
(1)由于
,
故由已知得,
当且仅当x=,y=–,时等号成立.
所以的最小值为.
(2)由于
故由已知,
当且仅当,,时等号成立.
因此的最小值为.
由题设知,解得或.
【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式,属于柯西不等式的常见题型.
4.【2019年高考江苏卷数学】设,解不等式.
【答案】.
【解析】当x<
0时,原不等式可化为,解得x<
;
当0≤x≤时,原不等式可化为x+1–2x>
2,即x<
–1,无解;
当x>
时,原不等式可化为x+2x–1>
2,解得x>
1.
综上,原不等式的解集为.
【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识,考查运算求解和推理论证能力.
5.【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知.
(2)若时不等式成立,求的取值范围.
(1)当时,,即
故不等式的解集为.
(2)当时成立等价于当时成立.
若,则当时;
若,的解集为,所以,故.
综上,的取值范围为.
6.【2018年高考全国Ⅱ卷理数】设函数.
(2)若,求的取值范围.
(1)当时,
可得的解集为.
(2)等价于.
而,且当时等号成立.故等价于.
由可得或,所以的取值范围是.
7.【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设函数.
(1)画出的图像;
(2)当,,求的最小值.
(1)图像见解析;
(2)的最小值为.
(1)的图像如图所示.
(2)由
(1)知,的图像与轴交点的纵坐标为,且各部分所在直线斜率的最大值为,故当且仅当且时,在成立,因此的最小值为.
8.【2018年高考江苏卷数学】若x,y,z为实数,且x+2y+2z=6,求的最小值.
【答案】的最小值为4.
【解析】由柯西不等式,得.
因为,所以,
当且仅当时,不等式取等号,此时,
所以的最小值为4.
9.【2017年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数,.
(2)若不等式的解集包含[–1,1],求的取值范围.
(1)当时,不等式等价于.①
当时,①式化为,无解;
当时,①式化为,从而;
当时,①式化为,从而.
所以的解集为.
(2)当时,.
所以的解集包含,等价于当时.
又在的最小值必为与之一,所以且,得.
所以的取值范围为.
【名师点睛】形如(或)型的不等式主要有两种解法:
(1)分段讨论法:
利用绝对值号内式子对应方程的根,将数轴分为,,(此处设)三个部分,将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解,然后取各个不等式解集的并集.
(2)图像法:
作出函数和的图像,结合图像求解.
10.【2017年高考全国Ⅱ卷理数】已知.证明:
(1)证明略;
(2)证明略.
(1)
(2)因为
所以,因此.
【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.若不等式恒等变形之后与二次函数有关,可用配方法.
11.【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数f(x)=│x+1│–│x–2│.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式的解集非空,求m的取值范围.
(1),
当时,无解;
当时,由得,,解得;
当时,由解得.
(2)由得,而
且当时,.
故m的取值范围为.
【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种:
法一:
利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;
法二:
利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;
法三:
通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.
12.【2017年高考江苏卷数学】已知为实数,且证明:
【答案】见解析
【解析】由柯西不等式可得,
因此.
【名师点睛】柯西不等式的一般形式:
设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn为实数,则()()≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0或存在一个数k,使ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.本题中,由柯西不等式可得,代入即得结论.