高二数学不等式的证明.docx

高二数学不等式的证明.docx

《高二数学不等式的证明.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二数学不等式的证明.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高二数学不等式的证明

高二数学不等式的证明

（二）

　　[本周学习内容]不等式证明中的综合证明方法：

　　1.换元法：

通过适当的换元，使问题简单化，常用的有三角换元和代数换元。

　　2.放缩法：

理论依据：

a>b,b>ca.c，找到不等号的两边的中间量，从而使不等式成立。

　　3.反证法：

理论依据：

命题“p”与命题“非p”一真、一假，

　　证明格式

　　[反证]：

假设结论“p”错误，“非p”正确，开始倒推，推导出矛盾（与定义，定理、已知等等矛盾），从而得到假设不正确，原命题正确。

　　4.数学归纳法：

这是一种利用递推关系证明与非零自然数有关的命题，可以是等式、不等式、命题。

　　证明格式：

（1）当n=n0时，命题成立；

（2）假设当n=k时命题成立；

　　则当n=k+1时，证明出命题也成立。

　　由

（1）

（2）知：

原命题都成立。

　　[本周教学例题]

　　一、换元法：

　　1.三角换元：

　　例1.求证：

　　证一：

（综合法）

　　即：

　　证二：

（换元法）∵-1≤x≤1∴令x=cos,[0,π]

　　则

　　∵-1≤sin2≤1

　　例2.已知x>0，y>0，2x+y=1，求证：

　　分析：

由于条件给出了x>0，y>0，2x+y=1，故如何使用2x+y=1这一特点是解决问题的重要环节。

由本题中x>0，y>0,2x+y=1的条件也可用三角代换。

　　证一：

　　证二：

由x>0,y>0，2x+y=1，可设

　　则

　　例3.若x2+y2≤1，求证：

　　证：

设

　　则

　　例4.若x>1，y>1，求证：

　　证：

设

　　则

　　例5.已知：

a>1,b>0，a-b=1，求证：

　　证：

∵a>1,b>0,a-b=1，∴不妨设

　　则

　　小结：

若0≤x≤1，则可令

　　若x2+y2=1，则可令x=cos，y=sin（0≤θ<2π）

　　若x2-y2=1，则可令x=sec,y=tan（0≤θ<2π）

　　若x≥1，则可令，若xR，则可令

　　2.代数换元：

　　例6：

证明：

若a>0，则

　　证：

设

　　则

　　即

　　∴原式成立

　　小结：

还有诸如“均值换元”“设差换元”的方法。

　　二、放缩法：

　　例7.若a,b,c,dR+，求证：

　　证：

记

　　∵a,b,c,dR+

　　∴1

　　例8.当n>2时，求证：

logn（n-1）logn（n+1）<1

　　证：

∵n>2∴logn（n-1）>0，logn（n+1）>0

　　∴n>2时，logn（n-1）logn（n+1）<1

　　例9.求证：

　　证：

　　三.反证法

　　例10.设0

（1-a）b,（1-b）c,（1-c）a，不可能同时大于

　　证：

设

　　则三式相乘：

①

　　又∵0

　　同理：

　　以上三式相乘：

与①矛盾

　　∴原式成立

　　例11.已知a+b+c+>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：

a,b,c>0

　　证：

设a<0，∵abc>0，∴bc<0

　　又由a+b+c>0，则b+c=-a>0

　　∴ab+bc+ca=a（b+c）+bc<0与题设矛盾

　　又：

若a=0，则与abc>0矛盾，∴必有a>0

　　同理可证：

b>0，c>0

　　四.构造法：

　　1.构造函数法

　　例12.已知x>0，求证：

　　证：

构造函数

　　由

　　显然

　　∴上式>0

　　∴f（x）在上单调递增，∴左边

　　例13.求证：

　　证：

设

　　用定义法可证：

f（t）在上单调递增，

　　令：

3≤t1

　　2.构造方程法：

　　例14.已知实数a,b,c，满足a+b+c=0和abc=2，求证：

a,b,c中至少有一个不小于2。

　　证：

由题设：

显然a,b,c中必有一个正数，不妨设a>0

　　则有两个实根。

　　例15.求证：

　　证：

设

　　当y=1时，命题显然成立，

　　当y≠1时，△=（y+1）2-4（y-1）2=（3y-1）（y-3）≥0

　　综上所述，原式成立。

（此法也称判别式法）

　　例16.已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均为正，求证：

xy≥ac+bd

　　证一：

（分析法）∵a,b,c,d,x,y都是正数

　　∴要证：

（xy）≥ac+bd

　　只需证

　　即：

（a2+b2）（c2+d2）≥a2c2+b2d2+2abcd

　　展开得：

a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd

　　即：

a2d2+b2c2≥2abcd

　　由基本不等式，显然成立

　　∴xy≥ac+bd

　　证二：

（综合法）

　　证三：

（三角代换法）

　　∵x2=a2+b2，∴不妨设

　　y2=c2+d2

　　五.数学归纳法：

　　例17.求证：

设nN，n≥2，求证：

　　分析：

关于自然数的不等式常可用数学归纳法进行证明。

　　证：

当n=2时，左边，易得：

左边>右边。

　　当n=k时，命题成立，即：

成立。

　　当n=k+1时，左边

　　又；且4（k+1）2>（2k+3）（2k+1）；

　　于是可得：

　　即当n=k+1时，命题也成立；

　　综上所述，该命题对所有的自然数n≥2均成立。

　　[本周参考练习]

　　证明下列不等式：

　　1.

　　提示：

令，则（y-1）x2+（y+1）x+（y-1）x=0用△法，分情况讨论。

　　2.已知关于x的不等式（a2-1）x2-（a-1）x-1<0（aR），对任意实数x恒成立，求证：

　　提示：

分

　　3.若x>0，y>0，x+y=1，则

　　提示：

左边

　　令t=xy，则

　　在上单调递减

　　4.已知|a|≤1，|b|≤1，求证：

，提示：

用三角换元。

　　5.设x>0，y>0，，求证：

a

　　放缩法

　　6.若a>b>c，则

　　10.

　　左边

　　11.求证：

高二数学不等式的应用

　　三.关于不等式的应用：

　　不等式的应用主要围绕着以下几个方面进行：

　　1.会应用不等式的证明技巧解有关不等式的应用题：

利用不等式求函数的定义域、值域；求函数的最值；讨论方程的根的问题。

　　（求极值的一个基本特点：

和一定，一般高，乘积拨了尖；积不变，两头齐，和值得最低。

）在使用时，要注意以下三个方面：

“正数”、“定值”、“等号”出现的条件和成立的要求，其中“构造定值”的数学思想方法的应用在极值使用中有着相当重要的作用。

　　2.会把实际问题抽象为数学问题进而建立数学模型，培养分析问题、解决问题的能力和运用数学的意识。

　　3.通过不等式应用问题的学习，进一步激发学数学、用数学的兴趣。

　　四、不等式的应用问题举例：

　　例10.已知a、b为正数，且a+b=1，求最大值。

　　分析：

在一定的条件限制下出现的最值问题，在变式的过程中，如何减少变形产生的错误也是必不可少的一个环节。

　　解：

由可得；

　　小结：

如果本题采用

　　两式相加而得：

；则出现了错误：

“=”号是否取到，这是在求极值时必须坚持的一个原则。

　　例11.求函数的最小值。

　　分析：

变形再利用平均值不等式是解决问题的关键。

　　解：

　　即f（x）最小值为-1

　　此类问题是不等式求极值的基本问题；但如果再改变x的取值范围（当取的某一个子集时），要则要借助于函数的基本性质解决问题了。

　　例12.若4a2+3b2=4，试求y=（2a2+1）（b2+2）的最大值。

　　分析：

在解决此类问题时，如何把4a2+3b2=4拆分成与（2a2+1）,（b2+2）两个式子的代数和则是本问题的关键。

　　解：

　　当且仅当：

4a2+2=3b2+6，即时取等号，y的最大值为8。

　　小结：

此问题还有其它不同的解法，如三角换元法；消元转化法等等。

但无论使用如何种广泛，都必须注意公式中的三个运用条件（一正，二定，三等号）

　　例13.已知x.y>0，且x·y=1，求的最小值及此时的x、y的值。

　　分析：

考查分式的最值时，往往需要把分式拆成若干项，然后变形使用平均值不等式求解。

　　解：

∵x>y>0∴x-y>0

　　又∵x·y=1，

　　也即：

；当且仅当时取等号。

　　也即；时，取等号。

　　例14.设x，y，z∈R+，x+y+z=1，求证：

的最小值。

　　分析：

此类问题的关键是如何使用平均值不等式，两条途径1.利用进而进行类加。

　　2.另一个途径是直接进行1的构造与转化。

但无论如何需要注意的是验证“=”号成立。

本题使用1的构造代入。

　　解：

∵x，y，z∈R+，且x+y+z=1

　　当且仅当时，取“=”号，的最小值为9。

　　小结：

本题如果采用三式类加，得到：

　　，由x，y，z∈R+，且x+y+z=1得：

。

进而言之，的最小值为5，则出现了一个错误的结果，其关键在于三个“=”号是否同时成立。

　　例15.已知a>0,a2-2ab+c2=0，bc>a2，试比较a，b，c的大小。

　　分析：

此问题只给出了几何简单的不等式关系，故要判断大小必须在这几个不等式中进行变形分析才可解决问题。

　　解：

由a2-2ab+c2=0可得，a2+c2=2ab≥2ac

　　又∵a>0,∴b≥c,（当且仅当a=c时，取等号）再由：

bc>a2可知，b>c,b>a再由原式变形为：

a2-2ab+b2+c2-b2=0得：

b2≥c2，结合：

b>c可得：

b>c>0

　　又由b>a可得：

2ab>2a2，

　　综上所述，可得：

b>c>a

　　小结：

本题中熟练掌握不等式的基本性质和变形是解决问题的关键。

　　例16.某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室。

在温室内，沿左，右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。

当矩形温室的边长各为多少时？

蔬菜的种植面积最大。

最大种植面积是多少？

　　分析：

如何把实际问题抽象为数学问题，是应用不等式等基础知识和方法解决实际问题的基本能力。

　　解：

设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800

　　蔬菜的种植面积S=（a-4）（b-2）=ab-4b-2a+8=808-2（a+2b）

　　所以

　　当a=2b，即a=40（m）,b=20（m）时，=648（m2）

　　答：

当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2.

　　例17.某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为

　　（Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；

　　（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？

　　分析：

数学建模是解决应用问题的一个基本要求，本问题对建立函数关系式、数列求和、不等式的基础知识，运用数学知识解决实际问题的能力都有着较高的要求。

　　解：

（Ⅰ）依题设，An