江苏省南京市届高三年级第三次模拟考试数学试题1.docx
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江苏省南京市届高三年级第三次模拟考试数学试题1
南京市2018届高三年级第三次模拟考试
数学2018.05
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2－4＝0}，则A∪B=
．
2．已知复数z的共轭复数是
．若z（2－i）＝5，其中i为虚数单位，则
的模为
．
S←1
I←1
While I＜8
S←S＋2
I←I＋3
EndWhile
（第4题图）
PrintS
3．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为
．
4．根据如图所示的伪代码，可知输出S的值为
．
5．已知A，B，C三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A与B在相邻两天值班的概率为
．
6．若实数x，y满足
则
的取值范围为
．
7.已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题：
若l⊥α，l⊥β，则α∥β；
若l⊥α，α⊥β，则l∥β；
若l∥α，l⊥β，则α⊥β；
若l∥α，α⊥β，则l⊥β．
其中真命题为
（填所有真命题的序号）．
8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线
－
＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离为2a，则该双曲线的离心率为
．
9．若等比数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，且a1=1，S6=3S3，则a7的值为
．
10．若f（x）是定义在R上的周期为3的函数，且f（x）＝
则f（a+1）的值为
．
11．在平面直角坐标系xOy中，圆M：
x2＋y2－6x－4y＋8＝0与x轴的两个交点分别为A，B，其中A在B的右侧，以AB为直径的圆记为圆N，过点A作直线l与圆M，圆N分别交于C，D两点．若D为线段AC的中点，则直线l的方程为
．
12．在△ABC中，AB=3，AC=2，D为边BC上一点．若
·
＝5，
·
＝－
，则
·
的值为
．
13．若正数a，b，c成等差数列，则
＋
的最小值为
．
14．已知a，b∈R，e为自然对数的底数．若存在b∈[－3e，－e2]，使得函数f（x）＝ex－ax－b在[1，3]上存在零点，则a的取值范围为
．
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）
15．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q．已知点P的横坐标为
，点Q的纵坐标为
．
（1）求cos2α的值；
Q
P
（2）求2α－β的值.
x
O
（第15题图）
16.（本小题满分14分）
如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝
，其余棱长均为2，M是棱PC上的一点，D，E分别为棱AB，BC的中点．
（1）求证:
平面PBC⊥平面ABC；
（2）若PD∥平面AEM，求PM的长．
17．（本小题满分14分）
如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB，AC和以BC为直径的半圆弧
组成，其中AC为2百米，AC⊥BC，∠A为
．若在半圆弧
，线段AC，线段AB上各建一个观赏亭D，E，F，再修两条栈道DE，DF，使DE∥AB，DF∥AC.记∠CBD＝θ（
≤θ＜
）．
（1）试用θ表示BD的长；
（2）试确定点E的位置，使两条栈道长度之和最大.
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
＋
＝1（a＞b＞0）经过点P（
，
），离心率为
.已知过点M（
，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）试问x轴上是否存在定点N，使得
·
为定值．若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
19．（本小题满分16分）
已知函数f（x）＝2x3－3ax2＋3a－2（a＞0），记f'（x）为f（x）的导函数．
（1）若f（x）的极大值为0，求实数a的值；
（2）若函数g（x）＝f（x）＋6x，求g（x）在[0，1]上取到最大值时x的值；
（3）若关于x的不等式f（x）≥f'（x）在[
，
]上有解，求满足条件的正整数a的集合．
20．（本小题满分16分）
若数列{an}满足：
对于任意n∈N*，an＋|an＋1－an＋2|均为数列{an}中的项，则称数列{an}为“T数列”．
（1）若数列{an}的前n项和Sn＝2n2，n∈N*，求证：
数列{an}为“T数列”；
（2）若公差为d的等差数列{an}为“T数列”，求d的取值范围；
（3）若数列{an}为“T数列”，a1＝1，且对于任意n∈N*，均有an＜a
－a
＜an＋1，求数列{an}的通项公式．
南京市2018届高三年级第三次模拟考试
数学附加题2018.05
注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用．
2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：
几何证明选讲
在△ABC中，AC＝
AB，M为边AB上一点，△AMC的外接圆交BC边于点N，BN＝2AM，
求证：
CM是∠ACB的平分线．
B．选修4—2：
矩阵与变换
已知矩阵A＝
，B＝
，若直线l:
x－y＋2＝0在矩阵AB对应的变换作用下得到直线l1，求直线l1的方程．
C．选修4—4：
坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆C经过点P（2，
），圆心C为直线ρsin（θ－
）＝－
与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
D．选修4—5：
不等式选讲
已知a，b，c∈（0，＋∞），且a＋b＋c＝1，求
＋
＋
的最大值．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出
文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系
中，抛物线C：
y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（1，a）（a＞0）是抛物线C上一点，且AF＝2．
（1）求p的值；
（2）若M，N为抛物线C上异于A的两点，且AM⊥AN．记点M，N到直线y＝－2的距离分别为d1，d2，求d1d2的值．
23．（本小题满分10分）
已知fn（x）＝
A
x（x＋1）…（x＋i－1），gn（x）＝A
＋x（x＋1）…（x＋n－1），其中x∈R，n∈N*且n≥2．
（1）若fn
（1）＝7gn
（1），求n的值；
（2）对于每一个给定的正整数n，求关于x的方程fn（x）＋gn（x）＝0所有解的集合．
南京市2018届高三年级第三次模拟考试
数学参考答案
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．{－3，－2，2}2．
3．1504．75．
6．[
，2]7．①③
8．
9．410．211．x＋2y－4＝012．－313．
14．[e
，4e]
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．（本小题满分14分）
解：
（1）因为点P的横坐标为
，P在单位圆上，α为锐角，
所以cosα＝
，………………………………2分
所以cos2α＝2cos2α－1＝
．………………………………4分
（2）因为点Q的纵坐标为
，所以sinβ＝
．………………………………6分
又因为β为锐角，所以cosβ＝
．………………………………8分
因为cosα＝
，且α为锐角，所以sinα＝
，
因此sin2α＝2sinαcosα＝
，……………………………10分
所以sin（2α－β）＝
×
－
×
＝
．……………………………12分
因为α为锐角，所以0＜2α＜π．
又cos2α＞0，所以0＜2α＜
，
又β为锐角，所以－
＜2α－β＜
，所以2α－β＝
．…………………………………14分
16．（本小题满分14分）
（1）证明：
如图1，连结PE．
因为△PBC的边长为2的正三角形，E为BC中点，
所以PE⊥BC，……………………2分
且PE＝
，同理AE＝
．
因为PA＝
，所以PE2＋AE2＝PA2，所以PE⊥AE．……4分
因为PE⊥BC，PE⊥AE，BC∩AE＝E，AE，BC⊂平面ABC，
所以PE⊥平面ABC．
因为PE⊂平面PBC，
所以平面PBC⊥平面ABC．……………………7分
（2）解法一
如图1，连接CD交AE于O，连接OM．
因为PD∥平面AEM，PD⊂平面PDC，平面AEM∩平面PDC＝OM，
所以PD∥OM，……………………………………9分
所以
＝
．……………………………………11分
因为D，E分别为AB，BC的中点，CD∩AE＝O，
所以O为∆ABC重心，所以
＝
，
所以PM＝
PC＝
．…………………………………14分
解法二
如图2，取BE的中点N，连接PN．
因为D，N分别为AB，BE的中点，
所以DN∥AE．
又DN⊄平面AEM，AE⊂平面AEM，
所以DN∥平面AEM．
又因为PD∥平面AEM，DN⊂平面PDN，PD⊂平面PDN，DN∩PD＝D，
所以平面PDN∥平面AEM．………………………………9分
又因为平面AEM∩平面PBC＝ME，平面PDN∩平面PBC＝PN，
所以ME∥PN，所以
＝
．………………………………11分
因为E，N分别为BC，BE的中点，
所以
＝
，所以PM＝
PC＝
．………………………………14分
17．（本小题满分14分）
解：
（1）连结DC．
在△ABC中，AC为2百米，AC⊥BC，∠A为
，
所以∠CBA＝
，AB＝4，BC＝2
．………………………………2分
因为BC为直径，所以∠BDC＝
，
所以BD＝BCcosθ＝2
cosθ．……
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