二阶变系数线性微分方程的一些解法 (1)Word格式.doc

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再作变量替换，令＝z得

y1＋（2＋p（x）y1）z＝0

分离变量dz＝－[＋p（x）］dx

两边积分，得其通解

z＝e－∫p（x）dx其中C2为任意常数

积分得u＝C2∫e－∫p（x）dxdx＋C1代回原变量得（9.1）的通解

y＝y1［C１＋C2∫e－∫p（x）dxdx］

此式称为二阶线性方程的刘维尔（Liouville）公式。

综上所述，对于二阶线性齐次方程，若已知其一个非零特解，作二次变换，即作变换y＝y1∫zdx可将其降为一阶线性齐次方程，从而求得通解。

对于二阶线性非齐次方程，若已知其对应的齐次方程的一个特解，用同样的变换，因为这种变换并不影响方程的右端，所以也能使非齐次方程降低一阶。

例1.已知y１＝是方程＋＋y＝0的一个解，试求方程的通解

解作变换y＝y1∫zdx

则有＝y1z＋∫zdx

＝y1＋2z＋∫zdx

代入原方程，并注意到y1是原方程的解，有

y1＋（2＋）z＝0

即＝－２ctanx·

z

积分得z＝

于是y＝y1∫zdx＝［∫dx＋C2］

＝（－C1ctanx＋C2）

＝（C2sinx－C1cosx）

这就是原方程的通解。



9.2常数变易法

在第三节求一阶线性非齐方程通解时，我们曾对其对应的齐次方程的通解，利用常数变易法求得非齐次方程的通解。

对于二阶线性非齐次方程

＋p（x）＋p（x）y＝f（x）（9.4）

其中p（x）,q（x），f（x）在某区间上连续，如果其对应的齐次方程

＋p（x）＋q（x）y＝0

的通解y＝C1y１＋C２y2已经求得。

那么也可通过如下的常数变易法求得非齐次方程的通解。

设非齐次方程（9.4）具有形式

＝u1y1＋u２y2（9.5）

的特解，其中u1＝u1（x），u2＝u（x）是两个待定函数，对求导数得

＝u1y′1＋u2y′2＋y1u′１＋y2u′2

由于用（9.5）代入（9.4），可确定u1，u2的一个方程，为了同时确定这两个函数，还须添加一个条件，为计算方便，我们补充一个条件：

y１u′１＋y2u′2＝0

这样＝u1y′1＋u2y′2

＝u′1y″1＋u′2y″2＋u1y′1＋u2y′2

代入方程（9.3），并注意到y1，y2是齐次方程的解，整理得

u′１y′1＋u′２y′２＝f（x）

与补充条件联列得方程组

因为y1，y2线性无关，即

≠常数，所以（）′＝≠0

设w（x）＝y1y′2－y2y′1，则有w（x）≠0所以上述方程组有唯一解。

解得

积分并取其一个原函数得

u1＝－∫dx

u２＝∫dx

则所求特解为＝y1∫dx＋y2∫dx

所求方程的通解y＝Y＋＝C1y1＋C2y2＋y1∫dx＋y2∫dx

上述求特解的方法也适用于常系数非齐次方程情形。

例1.求方程－＝x的通解

解先求对应的齐次方程

－＝0

的通解，由＝

·

d（）＝dx

得ln｜｜＝ln｜x｜＋ln｜C｜

即＝Cx得通解y＝C1x2＋C2

所以对应齐次方程的两个线性无关的特解是x2和1。

为求非齐次方程的一个解将C1，C2换成待定函数u1，u2，且u1，u2满足下列方程

解上述方程得u′1＝u′2＝－x2

积分并取其一原函数得u1＝x，u2＝－

于是原方程的一个特解为

＝u1·

x2＋u2·

1＝－＝

从而原方程的通解为

y＝C1x2＋C2＋

第十节数学建模

（二）——微分方程在几何、物理中的应用举例

一、镭的衰变

例1.镭、铀等放射性元素因不断地放出各种射线而逐渐减少其质量，称为放射性物的衰变。

由实验得知，衰变速度与现存物质的质量成正比，求放射性元素在时刻t的质量。

解用x表示该放射性物质在时刻t的现存物质，则表示x在时刻t的衰变速度，于是“衰变速度与现存质量成正比”可表示为

＝－kx

这是一个以x为未知函数的一阶方程，它就是放射性元素衰变的数学模型。

其中k＞0是比例常数，称为衰变常数，因元素的不同而异。

方程右端的负号表示当时间t增加时，质量x减少，即t＞0时，＜0。

解这个方程得通解

x＝Ce－kt

若已知当t＝t0时，x＝x0，即x｜＝x0

代入方程可得C＝x0e

得特解x＝x0e

它反映了某种放射性元素衰变的规律。

二、正交轨线

已知曲线族方程F（x,y,C）＝０，其中包含了一个参数C，当C固定时就得到一条曲线，当C改变就得整族曲线，称为单参数曲线族。

例如y＝Cx2为一抛物线族。

图6-3

如果存在另一族曲线G（x,y,C）＝0，其每一条曲线都与曲线族F（x,y,C）＝0的每条曲线垂直相交，即不同族中的曲线在交点处的切线互相垂直。

则称G（x,y,C）＝0为F（x,y，C）＝0的正交轨线。

将曲线族方程F（x,y,C）＝0对x求导与F（x,y,C）＝0联列并消去常数C，得曲线族上任一点的坐标（x,y）和曲线在该点的斜率y′所满足的微分方程

f（x,y,y′）＝0

这就是曲线族F（x,y,C）＝0所满足的微分方程。

因为正交轨线过点（x,y），且在该点与曲线族中过该点的曲线垂直，故正交轨线在点（x,y）处的斜率

k＝－

于是可知曲线族F（x,y,C）＝0的正交轨线满足方程

f（x,y,－）＝0

这是正交轨线的数学模型，其积分曲线族（通解），就是所要求的正交轨线。

例2求抛物线族y＝Cx2的正交轨线。

解对y＝Cx2关于x求导，得y′＝2Cx与原方程联列消去C

图6-4

得微分方程y′＝

将－代入y′得所求抛物线的正交轨线微分方程

－＝

即ydy＝－dx

积分得＋＝C2

即抛物线族y＝Cx2的正交轨线是一个椭圆族，如图6-4。

三、追迹问题

例3.开始时，甲、乙水平距离为1单位，乙从A点沿垂直于OA的直线以等速v0向正比行走；

甲从乙的左侧O点出发，始终对准乙以nv0（n＞1）的速度追赶，求追迹曲线方程，并问乙行多远时，被甲追到。

图6-5

解如图6-5建立坐标系，设所求追迹曲线方程为

y＝y（x）

经过时刻t，甲在追迹曲线上的点为p（x,y），乙在点B（1,v0t）。

于是有

tanθ＝y′＝（10.1）

由题设，曲线的弧长OP为

∫x0dx＝nv0t

解出v0t代入（10.1）得

（1－x）y′＋y＝∫x0dx

两边对x求导，整理得

（1－x）y″＝

这就是追迹问题的数学模型。

这是一个不显含y的可降阶的方程，设y′＝p，y″＝p′代入方程得

（1－x）p′＝

或＝

两边积分得ln（p＋）＝－ln｜1－x｜＋ln｜C１｜

即p＋＝

将初始条件y′｜x＝0＝p｜x＝0＝0代入上式，得C1＝1，于是

y′＋＝（10.2）

两边同乘y′－，并化简得

y′－＝－（10.3）

（10.2）与（10.3）两式相加，得

y′＝（－）

积分，得y＝［－（1－x）＋（1－x）］＋C2

代入初始条件y｜x＝0＝0得C2＝，所求追迹曲线方程为

y＝［－］＋（n＞1）

甲追到乙时，即曲线上点P的横坐标x＝1，此时

y＝

即乙行走至离A点个单位距离时即被甲追到。

四、弹簧振动

下面我们讨论机械振动的简单模型——弹簧振动问题，研究

图6-6

悬挂重物的弹簧的振动，并假定弹簧的质量与重物的质量相比较可以忽略不计。

如图6-6，一弹簧上端固定，下端与一质量为m的物体连接，弹簧对物体的作用力（恢复力）与弹簧的伸长度成正比（比例常数为k）;

物体在运过程中所受的阻力与速度成正比（比例常数为λ）。

此外，物体还与一个连杆连接，连杆对物体的作用力（强迫力）为F（t）。

下面建立物体运动方程（数学模型）。

如图6-6，物体的平衡位置为原点，向下方向为Ox轴的正向，以x＝x（t）表示物体在时刻t的位置，因为物体共受到三个力的作用。

（1）恢复力：

一kx（负号表示恢复力与位移x方向相反）；

（2）阻力：

－λ（负号表示阻力与速度的方向相反）；

（3）强迫力：

F（t）

由牛顿第二定律F＝ma

得m＝F（t）－kx－λ

或＋＋x＝

这就是物体运动的数学模型——振动方程。

为方便起见，记＝2β（β＞0），＝ω2

（ω＞0），＝f（t），则上述方程可写成

＋２β＋ω2x＝f（t）（10.4）

1.自由振动，当f（t）≡0时称为自由振动。

分两种情况讨论

（1）当β＝0时称为无阻尼自由振动，其运动方程为

＋ω2x＝0

图6-7

其通解x＝C1cosβt＋C2sinβt

＝Asin（ωt＋φ）

（其中A＝，tanφ＝）

这是简谐振动,如图6-7，这里振幅A及初相角φ，可由物体的初始位置和初始速度决定。

（2）当β≠0时称为有阻尼自由振动，其运动方程为

＋２β＋ω2x＝0

其特征方程为r2＋２βr＋ω２＝0

下面就其根的三种情形分别讨论：

（ⅰ）β＞ω（大阻尼情形），其根为r＝－β±

特征方程有两个不相等的实根，由于它们都是负数，可令r1＝－η1，r２＝－η2，（η1＞0，η2＞0）所以方程的通解为

x＝C1e＋C2e

图6-8图6-9

这里的位移x不是周期函数，因而物体不作任何振动，当t→＋∞时x→0，即随时间的无限增加而趋于平衡位置，如图6-8（当C1＋C2＞0，η1C1＋η2C2＜0的情形）

（ⅱ）β＝ω（临界阻尼情形），特征方程