二阶变系数线性微分方程的一些解法 (1)Word格式.doc

1、再作变量替换，令z得 y1（2p（x）y1）z0分离变量 dzp（x）dx两边积分，得其通解 zep（x）dx 其中C2为任意常数积分得uC2ep（x）dxdxC1代回原变量得（9.1）的通解 yy1CC2ep（x）dxdx此式称为二阶线性方程的刘维尔（Liouville）公式。综上所述，对于二阶线性齐次方程，若已知其一个非零特解，作二次变换，即作变换yy1zdx可将其降为一阶线性齐次方程，从而求得通解。对于二阶线性非齐次方程，若已知其对应的齐次方程的一个特解，用同样的变换，因为这种变换并不影响方程的右端，所以也能使非齐次方程降低一阶。例1. 已知y是方程y0的一个解，试求方程的通解解 作变换

2、 yy1zdx则有 y1zzdxy12zzdx代入原方程，并注意到y1是原方程的解，有 y1（2）z0即 ctanxz积分得 z于是 y y1zdxdxC2 （C1ctanxC2） （C2sinxC1cosx）这就是原方程的通解。9.2 常数变易法在第三节求一阶线性非齐方程通解时，我们曾对其对应的齐次方程的通解，利用常数变易法求得非齐次方程的通解。对于二阶线性非齐次方程 p（x） p（x）yf（x） （9.4）其中p（x）,q（x），f（x）在某区间上连续，如果其对应的齐次方程 p（x） q（x）y0的通解 yC1yCy2已经求得。那么也可通过如下的常数变易法求得非齐次方程的通解。设非齐次方程

3、（9.4）具有形式 u1y1uy2 （9.5）的特解，其中u1u1（x），u2u（x）是两个待定函数，对求导数得 u1y1u2y2y1uy2u2由于用（9.5）代入（9.4），可确定u1，u2的一个方程，为了同时确定这两个函数，还须添加一个条件，为计算方便，我们补充一个条件：yuy2u20这样 u1y1u2y2u1y1u2y2u1y1u2y2代入方程（9.3），并注意到y1，y2是齐次方程的解，整理得 uy1uyf（x）与补充条件联列得方程组因为y1，y2线性无关，即常数，所以（）0设w（x）y1y2y2y1，则有w（x）0所以上述方程组有唯一解。解得 积分并取其一个原函数得 u1dx udx

4、则所求特解为 y1dxy2dx所求方程的通解 yYC1y1C2y2y1dxy2dx上述求特解的方法也适用于常系数非齐次方程情形。例1. 求方程x的通解解 先求对应的齐次方程 0的通解，由 d（）dx得 lnlnxlnC即 Cx得通解yC1x2C2所以对应齐次方程的两个线性无关的特解是x2和1。为求非齐次方程的一个解将C1，C2换成待定函数u1，u2，且u1，u2满足下列方程解上述方程得 u1 u2x2积分并取其一原函数得 u1x，u2于是原方程的一个特解为 u1x2u21从而原方程的通解为 yC1x2C2第十节 数学建模（二）微分方程在几何、物理中的应用举例一、镭的衰变例1. 镭、铀等放射性元

5、素因不断地放出各种射线而逐渐减少其质量，称为放射性物的衰变。由实验得知，衰变速度与现存物质的质量成正比，求放射性元素在时刻t的质量。解 用x表示该放射性物质在时刻t的现存物质，则表示x在时刻t的衰变速度，于是“衰变速度与现存质量成正比”可表示为kx这是一个以x为未知函数的一阶方程，它就是放射性元素衰变的数学模型。其中k0是比例常数，称为衰变常数，因元素的不同而异。方程右端的负号表示当时间t增加时，质量x减少，即t0时，0。解这个方程得通解 xCekt若已知当tt0时，xx0，即xx0代入方程可得 Cx0e得特解 xx0e它反映了某种放射性元素衰变的规律。二、正交轨线已知曲线族方程F（x,y,C

6、），其中包含了一个参数C，当C固定时就得到一条曲线，当C改变就得整族曲线，称为单参数曲线族。例如yCx2为一抛物线族。图6-3 如果存在另一族曲线G（x,y,C）0，其每一条曲线都与曲线族F（x,y,C）0的每条曲线垂直相交，即不同族中的曲线在交点处的切线互相垂直。则称G（x,y,C）0为F（x,y，C）0的正交轨线。将曲线族方程F（x,y,C）0对x求导与F（x,y,C）0联列并消去常数C，得曲线族上任一点的坐标（x,y）和曲线在该点的斜率y所满足的微分方程 f（x,y,y）0这就是曲线族F（x,y,C）0所满足的微分方程。因为正交轨线过点（x,y），且在该点与曲线族中过该点的曲线垂直，故正

7、交轨线在点（x,y）处的斜率 k于是可知曲线族F（x,y,C）0的正交轨线满足方程 f（x,y,）0这是正交轨线的数学模型，其积分曲线族（通解），就是所要求的正交轨线。例2 求抛物线族yCx2的正交轨线。解 对yCx2关于x求导，得y2Cx与原方程联列 消去C图6-4 得微分方程 y将代入y得所求抛物线的正交轨线微分方程 即 ydydx积分得 C2即抛物线族 yCx2的正交轨线是一个椭圆族，如图6-4。三、追迹问题例3. 开始时，甲、乙水平距离为1单位，乙从A点沿垂直于OA的直线以等速v0向正比行走；甲从乙的左侧O点出发，始终对准乙以nv0（n1）的速度追赶，求追迹曲线方程，并问乙行多远时，被

8、甲追到。 图6-5解 如图6-5建立坐标系，设所求追迹曲线方程为 yy（x）经过时刻t，甲在追迹曲线上的点为p（x,y），乙在点B（1,v0t）。于是有 tany （10.1）由题设，曲线的弧长OP为 x0dxnv0t解出v0t代入（10.1）得 （1x）yyx0dx两边对x求导，整理得 （1x）y这就是追迹问题的数学模型。这是一个不显含y的可降阶的方程，设yp，yp代入方程得 （1x）p或 两边积分得 ln（p）ln1xlnC即 p将初始条件 yx0px00代入上式，得C11，于是 y （10.2）两边同乘 y，并化简得 y （10.3）（10.2）与（10.3）两式相加，得 y （）积分，

9、得 y （1x） （1x）C2代入初始条件 yx00得C2，所求追迹曲线方程为 y （n1） 甲追到乙时，即曲线上点P的横坐标x1，此时 y即乙行走至离A点个单位距离时即被甲追到。四、弹簧振动下面我们讨论机械振动的简单模型弹簧振动问题，研究图6-6 悬挂重物的弹簧的振动，并假定弹簧的质量与重物的质量相比较可以忽略不计。如图6-6，一弹簧上端固定，下端与一质量为m的物体连接，弹簧对物体的作用力（恢复力）与弹簧的伸长度成正比（比例常数为k）;物体在运过程中所受的阻力与速度成正比（比例常数为）。此外，物体还与一个连杆连接，连杆对物体的作用力（强迫力）为F（t）。下面建立物体运动方程（数学模型）。如图

10、6-6，物体的平衡位置为原点，向下方向为Ox轴的正向，以xx（t）表示物体在时刻t的位置，因为物体共受到三个力的作用。（1）恢复力：一kx （负号表示恢复力与位移x方向相反）；（2）阻力： （负号表示阻力与速度的方向相反）；（3）强迫力：F（t）由牛顿第二定律 Fma得 mF（t）kx或 x这就是物体运动的数学模型振动方程。为方便起见，记2 （0），2 （0），f（t），则上述方程可写成 2xf（t） （10.4）1.自由振动，当f（t）0时称为自由振动。分两种情况讨论（1）当0时称为无阻尼自由振动，其运动方程为 2x0图6-7 其通解 xC1costC2sintAsin（t）（其中A，tan）这是简谐振动,如图6-7，这里振幅A及初相角，可由物体的初始位置和初始速度决定。（2）当0时称为有阻尼自由振动，其运动方程为 2x0其特征方程为 r2r0下面就其根的三种情形分别讨论：（）（大阻尼情形），其根为 r特征方程有两个不相等的实根，由于它们都是负数，可令r11，r2，（10，20）所以方程的通解为xC1eC2e图6-8 图6-9 这里的位移x不是周期函数，因而物体不作任何振动，当t时x0，即随时间的无限增加而趋于平衡位置，如图6-8（当C1C20，1C12C20的情形）（）（临界阻尼情形），特征方程