理论声学答案Word格式.docx
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得到：
习题1.12一弹簧竖直悬挂，上端固定，下端系一质点组成简单振子。
质点同时受到向下的重力。
分析质点的振动和能量的转换。
，，特解，弹簧受力为零
通解，平衡位置，简谐振动
速度
动能：
弹簧势能：
重力势能：
。
取为平衡位置，通解
速度，
习题1.13火车以速度运动，车上有一简单振子，弹簧与火车运动方向平行，一端固定在火车上，另一端连接的质点沿火车运动方向振动。
分析质点的振动和能量转换的规律。
见课本第二章
习题2.1图中3个相同的质点和4个相同的弹簧组成的一维的耦合共振系统。
求其共振频率和模式，验证模式的正交性。
，模式是，，模式是
正交：
质量相同，，
习题2.2图2.1中两个质点和三个弹簧组成一维振动系统，如果两个质点的质量相同，三个弹簧的弹性系数相同。
两个质点分别受力和，验证用简正坐标解的结果和非齐次方程组的结果一致。
两式相加和相减
用解非齐次方程的方法解
习题2.3写出习题2.1的振动系统的投影矩阵。
如果在中间的质点上有稳态的作用力，求系统的振动，分析各个模式的贡献。
归一化模式是，。
，，
习题2.4用质量归一化的方法分析图2.1的振动系统。
习题2.5图中机器工作时产生单频振动，为了降低通过弹簧对地基的作用，机器上方加装一质点弹簧系统，画出类比图，并分析加装系统的理想参数。
并联电路各支路电流与电导成正比，希望上的电流小，支路的电阻抗应该小，，
习题2.6图中的质点被两个相同的弹簧固定，平衡的时候弹簧中的张力是，质点可以在三维空间中运动，位移很小，分析其振动。
质点位置，平衡位置是原点，弹簧原长
平衡位置处弹簧长度，弹性系数
固定点的坐标质点位移后弹簧长度
保留一阶小量质点在方向的受力
质点在方向的受力
质点在方向的受力，
运动方程三个方程是解耦的，就是简正坐标频率方程
方向的振动，振动与张力无关，简并，平面内的椭圆振动，平面内的任意方向都可以作为简正方向。
运动
习题2.7*如果习题2.1中的三个质点运动时还受到方向与速度相反，大小与速度成正比的阻力，分析系统的阻尼振动性质和受迫振动性质。
，
习题2.8*图2.8所示的振动系统，两个质点可以在三维空间中运动，分析其振动模式。
习题3.1有一质量为1克，长度为1米的细弦以1牛顿的张力张紧，两端固定，求弦的自由振动的基频；
当弦以基频振动，中点位置的位移振幅为10毫米，求振动的总能量；
距一端0.25米处的速度振幅是多少？
模式的概念
Hz
J,
0.25m处振速振幅m/S
习题3.2长为的弦两端固定，在距一端处敲击弦，使其产生的初速度，求解弦的振动位移，分解为各个模式的和，求各个模式的能量。
给定了初始条件分析自由振动
，
根据能量守恒定律外力做功等于初始时刻弦的动能
模式：
动能
势能
模式能量，得到
习题3.3有一长度为1米，截面积的铝棒（密度2700kg/m3），两端自由。
求棒作纵振动时的基频和位移振幅最小的位置。
如果在棒的一端负载着0.054kg的重物，求基频和位移振幅最小的位置。
基频Hz，
基频振动
振幅，最小为零，，中点
，,
零点满足，m
习题3.4位于的弦，两端固定，作横振动。
若初始时刻的位移为，速度为，用模式展开和达朗贝尔解两种方法求振动位移随时间的变化。
，，，，
习题3.5，，
低频，保留一项，
条件：
习题3.6
（3.106）,（3.107）,,
习题3.7
，
或
（１） ，，，，偶数阶模式
（２） ，比较（3.157）
习题3.8*
（3.160）,,
,,,
零阶贝塞尔方程
：
2.4048, 5.5201，8.6537，11.7915,14.9309
习题4.1利用极坐标和直角坐标的转换关系由证明。
，，，，，，，，，，，，
习题5.2根据哈密顿原理和变分法由膜的能量密度推导膜的运动方程。
取极值欧拉方程
取极值的充要条件
得到
习题5.3矩形薄膜的长宽比是1:
2，求前5个共振频率与基频的比值。
，，，
，，注意选取合适的模式
习题5.4圆形膜的共振频率，基频，最大的张力N/m
最高的频率kHz
习题4.5已知周围固定的圆膜以基频振动，中心点的振幅是，求振动的能量。
（提示：
利用（4.88）。
）
（4.10）动能
，总能量
习题4.6周围固定的圆膜受到介质的阻尼力，分析圆膜的振动。
习题4.7*内外半径分别是和的圆环膜的边界固定，求固有频率方程。
如果内半径受到与膜垂直的均匀的简谐力，求膜的位移。
自由振动
频率方程：
受迫振动：
习题5.1复习声波方程的推导。
基本假设基本方程，线性化
不可压缩流体，，，，速度无散，声压调和
一维的解，，，，。
声波
习题5.2如果介质中有体力分布，作用在单位体积上的体力为，求声波方程。
分析体力是重力的情况。
体力
运动方程
波动方程
重力
估计重力的影响，，因此，这个数一般很小，频率很低时才有作用对于空气如果，相当于Hz
习题5.3设夏天的气温比冬天高40°
C，如果大气密度近似认为不变，求这样的温差下同样声压的声波声强变化的百分比和声强级差。
理想气体绝热过程声速，
理想气体平衡状态方程，分子数，绝对温度，Ｊ／Ｋ波尔兹曼常数，
声强，声强变化％
合dB
习题5.4S
S
ｍ
习题5.5空间中有两个传播方向相同的平面波和，求总声场的能量密度、能流密度和它们的平均值。
能量问题，先求实部
，
能量密度
平均能量密度波印廷矢量方向
习题5.620°
C空气中一平面声波，声压级为74dB，求有效声压、平均声能量密度与声强。
如果水中一个平面声波有同样的质点振动速度幅度，求声强。
帕焦耳/米3
瓦/米2
，瓦/米2
习题5.７上题中空气中的平面声波垂直入射到界面上，界面的声压反射系数是0.4，求介质中的声压和声强。
，，帕
，瓦/米2
习题5.8验证平面声波斜入射到平面界面发生反射和透射时的能量守恒关系。
入射角小于临界角，反射波和透射波都是平面波
入射波声强反射波声强透射波声强
全反射，反射系数的模为1。
反射波强度等于入射波的强度，反射角等于入射角。
透射波是不均匀波，法向能流为零。
\
习题5.9推导。
理论声学
TheoreticalAcoustics
1.推导球坐标系中介质的运动方程、连续性方程，进而推导波动方程。
单元的三边垂直，尺度：
标量函数的梯度，沿着坐标轴方向的导数
，运动方程
矢量函数的散度，各个坐标面流出量的总和与体积的比
，连续性方程
声波方程
2.对于脉动球源，在满足的条件下，使球源半径比原来增加一倍，表面振速与频率不变，辐射声压增加多少分贝？
如果在的条件下球源半径增加一倍，表面振速与频率不变，辐射声压增加多少分贝？
低频，kr0很小，声压与成正比，增加一倍，声压增加到四倍
dB
高频，kr0很大，声压与成正比，
dB
3dB，6dB，10dB，20dB…的意义
3.演讲者辐射的声功率是10-3W，如果人耳听音时感到满意的最小声压是0.1Pa，求无限空间中听众的最大距离。
，m
dB
4.求两个强度相等、相距、相位差的点声源的远场辐射声压。
指向性
5.半径为5mm的脉动球源向空中辐射100Hz的声波，球源表面振速幅度为0.008m/s，求辐射功率。
如果有这样相同的两个球，相距0.15m，求辐射的总功率。
如果两个球的振动反相，求辐射的总功率。
m-1，，
W
相同的两个球，功率是倍，即W
反相小球W
6.如右图所示，将火车看作有限长声源，火车首尾与观察点连线（对于垂线）的夹角分别为和，证明，这里是单位长度的火车发出的声功率。
刚性地面2倍
7.设一半径为的圆形声源，总输出声功率平均分布在圆面上，但是各点的相位是无规的且不相干，求声源中心轴上平均平方声压随距离的变化规律。
8.已知一半径为的带障板的活塞声源表面的振速分布为，求远场分布,分析主瓣的性质。
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