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1、得到：习题1.12 一弹簧竖直悬挂，上端固定，下端系一质点组成简单振子。质点同时受到向下的重力。分析质点的振动和能量的转换。，特解，弹簧受力为零通解，平衡位置，简谐振动 速度动能：弹簧势能：重力势能：。 取为平衡位置，通解速度，习题1.13 火车以速度运动，车上有一简单振子，弹簧与火车运动方向平行，一端固定在火车上，另一端连接的质点沿火车运动方向振动。分析质点的振动和能量转换的规律。见课本第二章习题2.1 图中3个相同的质点和4个相同的弹簧组成的一维的耦合共振系统。求其共振频率和模式，验证模式的正交性。，模式是，模式是正交：质量相同，习题2.2 图2.1中两个质点和三个弹簧组成一维振动系统，如

2、果两个质点的质量相同，三个弹簧的弹性系数相同。两个质点分别受力和，验证用简正坐标解的结果和非齐次方程组的结果一致。两式相加和相减用解非齐次方程的方法解习题2.3 写出习题2.1的振动系统的投影矩阵。如果在中间的质点上有稳态的作用力，求系统的振动，分析各个模式的贡献。归一化模式是，。，习题2.4 用质量归一化的方法分析图2.1的振动系统。习题2.5 图中机器工作时产生单频振动，为了降低通过弹簧对地基的作用，机器上方加装一质点弹簧系统，画出类比图，并分析加装系统的理想参数。 并联电路各支路电流与电导成正比，希望上的电流小，支路的电阻抗应该小，习题2.6 图中的质点被两个相同的弹簧固定，平衡的时候弹

3、簧中的张力是，质点可以在三维空间中运动，位移很小，分析其振动。质点位置，平衡位置是原点，弹簧原长平衡位置处弹簧长度，弹性系数固定点的坐标质点位移后弹簧长度保留一阶小量 质点在方向的受力 质点在方向的受力质点在方向的受力 ，运动方程 三个方程是解耦的，就是简正坐标 频率方程 方向的振动，振动与张力无关 ，简并，平面内的椭圆振动，平面内的任意方向都可以作为简正方向。运动习题2.7* 如果习题2.1中的三个质点运动时还受到方向与速度相反，大小与速度成正比的阻力，分析系统的阻尼振动性质和受迫振动性质。， 习题2.8* 图2.8所示的振动系统，两个质点可以在三维空间中运动，分析其振动模式。习题3.1 有

4、一质量为1克，长度为1米的细弦以1牛顿的张力张紧，两端固定，求弦的自由振动的基频；当弦以基频振动，中点位置的位移振幅为10毫米，求振动的总能量；距一端0.25米处的速度振幅是多少？模式的概念HzJ ,0.25m 处振速振幅 m/S习题3.2 长为的弦两端固定，在距一端处敲击弦，使其产生的初速度，求解弦的振动位移，分解为各个模式的和，求各个模式的能量。 给定了初始条件分析自由振动 ， 根据能量守恒定律外力做功等于初始时刻弦的动能模式： 动能 势能 模式能量，得到习题3.3 有一长度为1米，截面积的铝棒（密度2700kg/m3），两端自由。求棒作纵振动时的基频和位移振幅最小的位置。如果在棒的一端负

5、载着0.054kg的重物，求基频和位移振幅最小的位置。 基频Hz，基频振动振幅，最小为零，中点，,零点满足，m 习题3.4 位于的弦，两端固定，作横振动。若初始时刻的位移为，速度为，用模式展开和达朗贝尔解两种方法求振动位移随时间的变化。，习题3.5，,低频，保留一项，条件：习题3.6 （3.106）, （3.107）, , , 习题3.7 ， 或（），偶数阶模式（），比较（3.157）习题3.8* （3.160） ,零阶贝塞尔方程：2.4048,5.5201，8.6537，11.7915, 14.9309 习题4.1 利用极坐标和直角坐标的转换关系由证明。， ， ， ，习题5.2根据哈密顿原理

6、和变分法由膜的能量密度推导膜的运动方程。取极值欧拉方程取极值的充要条件得到习题5.3矩形薄膜的长宽比是1:2，求前5个共振频率与基频的比值。，注意选取合适的模式习题5.4圆形膜的共振频率，基频，最大的张力N/m最高的频率kHz习题4.5已知周围固定的圆膜以基频振动，中心点的振幅是，求振动的能量。（提示：利用（4.88）。）（4.10） 动能，总能量习题4.6周围固定的圆膜受到介质的阻尼力，分析圆膜的振动。习题4.7* 内外半径分别是和的圆环膜的边界固定，求固有频率方程。如果内半径受到与膜垂直的均匀的简谐力，求膜的位移。自由振动频率方程：受迫振动：习题 5.1 复习声波方程的推导。基本假设基本方

7、程，线性化不可压缩流体，速度无散，声压调和一维的解，。声波习题5.2如果介质中有体力分布，作用在单位体积上的体力为 ，求声波方程。分析体力是重力的情况。体力 运动方程 波动方程 重力 估计重力的影响，因此，这个数一般很小，频率很低时才有作用 对于空气如果，相当于Hz习题5.3 设夏天的气温比冬天高40C，如果大气密度近似认为不变，求这样的温差下同样声压的声波声强变化的百分比和声强级差。理想气体绝热过程声速，理想气体平衡状态方程，分子数，绝对温度，波尔兹曼常数 ，声强，声强变化合 dB习题5.4 SS习题5.5 空间中有两个传播方向相同的平面波和，求总声场的能量密度、能流密度和它们的平均值。 能

8、量问题，先求实部 ，能量密度平均能量密度 波印廷矢量方向习题5.6 20C空气中一平面声波，声压级为74dB，求有效声压、平均声能量密度与声强。如果水中一个平面声波有同样的质点振动速度幅度，求声强。帕 焦耳/米3瓦/米2 ，瓦/米2习题5. 上题中空气中的平面声波垂直入射到界面上，界面的声压反射系数是0.4，求介质中的声压和声强。 ，帕 ，瓦/米2习题5.8验证平面声波斜入射到平面界面发生反射和透射时的能量守恒关系。 入射角小于临界角，反射波和透射波都是平面波 入射波声强 反射波声强 透射波声强 全反射，反射系数的模为1。反射波强度等于入射波的强度，反射角等于入射角。透射波是不均匀波，法向能流

9、为零。习题5.9 推导。理论声学Theoretical Acoustics1. 推导球坐标系中介质的运动方程、连续性方程，进而推导波动方程。单元的三边垂直，尺度：标量函数的梯度，沿着坐标轴方向的导数，运动方程矢量函数的散度，各个坐标面流出量的总和与体积的比，连续性方程声波方程 2. 对于脉动球源，在满足的条件下，使球源半径比原来增加一倍，表面振速与频率不变，辐射声压增加多少分贝？如果在的条件下球源半径增加一倍，表面振速与频率不变，辐射声压增加多少分贝？ 低频，kr0很小 ，声压与成正比，增加一倍，声压增加到四倍 dB 高频，kr0很大 ，声压与成正比， dB 3dB，6dB，10dB，20dB

10、的意义3. 演讲者辐射的声功率是10-3W，如果人耳听音时感到满意的最小声压是0.1Pa，求无限空间中听众的最大距离。 ，m dB4. 求两个强度相等、相距、相位差的点声源的远场辐射声压。指向性5. 半径为5mm的脉动球源向空中辐射100Hz的声波，球源表面振速幅度为0.008m/s，求辐射功率。如果有这样相同的两个球，相距0.15m，求辐射的总功率。如果两个球的振动反相，求辐射的总功率。m-1，W相同的两个球，功率是倍，即W反相小球W6. 如右图所示，将火车看作有限长声源，火车首尾与观察点连线（对于垂线）的夹角分别为和，证明，这里是单位长度的火车发出的声功率。 刚性地面2倍7. 设一半径为的圆形声源，总输出声功率平均分布在圆面上，但是各点的相位是无规的且不相干，求声源中心轴上平均平方声压随距离的变化规律。8. 已知一半径为的带障板的活塞声源表面的振速分布为，求远场分布,分析主瓣的性质。22