第1章 有理数 专题分类训练二 绝对值非负性及其应用Word格式.docx

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【方法总结】理解绝对值的定义是解题关键．

【知识链接】①互为相反数的两个数绝对值相等；

②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．

任何一个有理数的绝对值一定 （　D　）

A．大于0 B．小于0 C．不大于0 D．不小于0

【解析】由绝对值的定义可知，任何一个有理数的绝对值一定大于等于0.题中选项只有D项符合题意．故选D项．

已知a为有理数，则下列四个数中一定为非负有理数的是

（　C　）

A．a B．－a C．|－a| D．－|－a|

【解析】根据绝对值的性质，为非负有理数的是|－a|.故选C.

若|x|－|y|＝0，则 （　D　）

A．x＝y B．x＝－y

C．x＝y＝0 D．x＝y或x＝－y

【解析】∵|x|－|y|＝0，∴|x|＝|y|，∴x＝±

y，故选D.

对于任意有理数a，下列各式一定成立的是 （　C　）

A．a＞|a| B．a＞|－a| C．a≥－|a| D．a＜|a|

【解析】A、当a＜0时，a＜|a|，故本选项错误；

B、当a＜0时，a＜|－a|，故本选项错误；

C、不论a为何有理数，a≥－|a|均成立，故本选项正确；

D、当a≥0时，a＝|a|，故本选项错误．故选C.

若|a|＋|b|＝0，则a与b的大小关系是 （　A　）

A．a＝b＝0B．a与b互为相反数

C．a与b异号D．a与b不相等

【解析】∵|a|＋|b|＝0，|a|≥0，|b|≥0，∴|a|＝0，|b|＝0，∴a＝0，b＝0.故选A.

【方法点拨】当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．

若x是有理数，则|x|＋1一定 （　C　）

A．等于1 B．大于1 C．不小于1 D．不大于1

【解析】∵|x|≥0，∴|x|＋1≥1.故选C.

如果一个有理数的绝对值等于它的相反数．那么这个数一定是

（　B　）

A．负数 B．负数或零 C．正数或零 D．正数

【解析】设这个有理数是a，则根据题意有：

|a|＝－a，因此a≤0，即这个有理数是非正数．故选B.

已知：

|2x－3|＋|y＋2|＝0，比较x，y的大小关系，正确的一组是 （　B　）

A．x＜y B．x＞y

C．x＝y D．与x，y的取值有关，无法比较

【解析】∵|2x－3|＋|y＋2|＝0，∴|2x－3|＝0，|y＋2|＝0，∴x＝1.5，y＝－2，∴x＞y，故选B.

式子|x－1|＋2取最小值时，x等于 （　B　）

A．0 B．1 C．2 D．3

【解析】∵|x－1|≥0，∴当|x－1|＝0时，|x－1|＋2取最小值，∴x－1＝0，解得x＝1.故选B.

如果|a|＝4，那么a＝__±

4__；

如果|x|＝|－2.5|，则x＝__±

2.5__；

若|a－2|＋|b＋5|＝0，则a－b＝__7__．

【解析】∵|a|＝4，∴a＝±

4.∵|x|＝|－2.5|，∴x＝±

2.5，根据题意得a－2＝0，b＋5＝0，解得a＝2，b＝－5，∴a－b＝2－（－5）＝2＋5＝7.

若|a－1|＝－|b＋1|，则－4ab＝__4__．

【解析】由|a－1|＝－|b＋1|得|a－1|＋|b＋1|＝0，∴a－1＝0，b＋1＝0，解得a＝1，b＝－1，∴－4ab＝－4×

1×

（－1）＝4.

用字母a表示一个有理数，则|a|一定是非负数，也就是它的值为正数或0，所以|a|的最小值为0，而－|a|一定是非正数，即它的值为负数或0，所以－|a|有最大值0，根据这个结论完成下列问题：

（1）|a|＋1有最__小__值__1__；

（2）5－|a|有最__大__值__5__；

（3）当a的值为__1__时，|a－1|＋2有最__小__值__2__；

（4）若|a＋2|＋|b－1|＝0，则ab＝__－2__．

任意有理数a，式子1－|a|，|a＋1|，|－a|＋|a|，|a|＋1中，值不能为0的是 （　D　）

A．1－|a| B．|a＋1| C．|－a|＋|a| D．|a|＋1

【解析】当a＝1或－1时，|a|＝1，则1－|a|＝0；

当a＝－1时，a＋1＝0，则aa＋1|＝0；

当a＝0时，|－a|＝|a|＝0，则|－a|＋|a|＝0；

对于任意数a，都有|a|≥0，则|a|＋1≥1，值不能为0.故选D.

满足|a－b|＋ab＝1的非负整数（a，b）的个数是 （　C　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【解析】∵|a－b|≥0，∴－|a－b|≤0，∴1－|a－b|≤1，∴ab≤1，∵a，b是非负整数，∴存在（1，1）（1，0）（0，1）3种情况．故选C.

不论a取什么值，代数式－|a|－2的值总是 （　B　）

A．正数 B．负数 C．非负数 D．不能确定

【解析】∵|a|≥0，∴－|a|－2≤－2，∴代数式－|a|－2的值总是负数．故选B.

【方法点拨】任意一个数的绝对值都是非负数．

若－|m－n|有最大值，则m与n的关系是__m＝n__．

【解析】∵|m－n|≥0，∴－|m－n|≤0，∴当m－n＝0时取最大值，∴m＝n.故m与n的关系是m＝n.

当式子|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋…＋|x－1997|取得最小值时，实数x的值等于 （　A　）

A．999 B．998 C．1997 D．0

【解析】由已知条件可知，|x－a|表示x到a的距离，只有当x到1的距离等于x到1997的距离时，式子取得最小值．∴当x＝＝999时，式子取得最小值．故选A.

【方法总结】观察已知条件可以发现，|x－a|表示x到a的距离．要是题中式子取得最小值，则应该找出与最小数和最大数距离相等的x的值，此时式子得出的值则为最小值．

|a＋3|＋|b－2|＝0，求a＋b的值．

根据题意得，a＋3＝0，b－2＝0，

解得a＝－3，b＝2，

∴a＋b＝－3＋2＝－1.

【方法点拨】根据绝对值的非负性列式求解即可得到a，b的值，然后再代入代数式进行计算即可求解．

若|2x－4|与|y－3|互为相反数，求2x－y的值．

根据题意得，|2x－4|＋|y－3|＝0，

∴2x－4＝0，y－3＝0，

解得x＝2，y＝3，

∴2x－y＝2×

2－3＝4－3＝1.

【方法点拨】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列式求出x，y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．

若a，b，c都是有理数，且|a－1|＋|b＋2|＋|c－4|＝0，求a＋|b|＋c的值．

∵|a－1|＋|b＋2|＋|c－4|＝0，

∴|a－1|＝0，|b＋2|＝0，|c－4|＝0，

∴a＝1，b＝－2，c＝4，

∴a＋|b|＋c＝1＋2＋4＝7.

已知|2a－6|与|b＋2|互为相反数．

（1）求a，b的值；

（2）求a－b，ab的值．

（1）∵|2a－6|与|b＋2|互为相反数，

∴|2a－6|＋|b＋2|＝0，∴2a－6＝0，且b＋2＝0，

∴a＝3，b＝－2；

（2）∵a＝3，b＝－2，∴a－b＝3－（－2）＝5，ab＝3×

（－2）＝－6.

【方法点拨】考查的是非负数的性质，熟知任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解答此题的关键．

（1）对于式子|x|＋13，当x等于什么值时，有最小值？

最小值是多少？

（2）对于式子2－|x|，当x等于什么值时，有最大值？

最大值是多少？

（1）式子|x|＋13，当x等于0时，有最小值，最小值是13；

（2）式子2－|x|，当x等于0时，有最大值，最大值是2.

【方法总结】任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性．利用此性质解决问题即可．