机械优化设计课后习题答案Word文档格式.doc
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g5（X）=-x2≤0
1-2已知一拉伸弹簧受拉力，剪切弹性模量，材料重度，许用剪切应力，许用最大变形量。
欲选择一组设计变量使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：
弹簧圈数，簧丝直径，弹簧中径。
试建立该优化问题的数学模型。
注：
弹簧的应力与变形计算公式如下
解：
（1）确定设计变量；
取弹簧重量为目标函数，即：
f（X）=
minf（X）=X∈R3·
s.t.g1（X）=0.5-x1≤0
g2（X）=10-x2≤0
g3（X）=x2-50≤0
g4（X）=3-x3≤0
g5（X）=≤0
g6（X）=≤0
1-3某厂生产一个容积为8000cm3的平底、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型。
根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X=,
表面积为目标函数，即：
minf（X）=x12+2x1x2
考虑题示的约束条件之后，该优化问题数学模型为：
minf（X）=x12+2x1x2
X=[x1,x2]T∈R2
s.t.g1（X）=-x1≤0
g2（X）=-x2≤0
h1（X）=8000-x12x2=0
1-4要建造一个容积为1500m3的长方形仓库，已知每平方米墙壁、屋顶和地面的造价分别为4元、6元和12元。
基于美学的考虑，其宽度应为高度的两倍。
现欲使其造价最低，试导出相应优化问题的数学模型。
取总价格为目标函数，即：
f（X）=8（x1x3+x2x3）+6x1x2+12x1x2
（3）建立数学模型的约束函数；
1）仓库的容积为1500m3。
即：
1500-x1x2x3=0
2）仓库宽度为高度的两倍。
x2-2x3=0
3）各变量取值应大于0，即：
x1>
0,x2.>
0.，则-x1≤0，-x2≤0
（4）本问题的最优化设计数学模型：
minf（X）=8（x1x3+x2x3）+18x1x2X∈R3·
s.t.g1（X）=-x1≤0
g3（X）=-x3≤0
h1（X）=1500-x1x2x3=0
h2（X）=x2-2x3=0
1-5绘出约束条件：
；
；
所确定的可行域
1-6试在三维设计空间中，用向量分别表示设计变量：
;
;
。
第二章习题答案
2-1请作示意图解释：
的几何意义。
2-2已知两向量,求该两向量之间的夹角。
2-3求四维空间内两点和之间的距离。
2-4计算二元函数在处，沿方向的方向导数和沿该点梯度方向的方向导数。
2-5已知一约束优化设计问题的数学模型为
求：
（1）以一定的比例尺画出当目标函数依次为时的四条等值线，并在图上画出可行区的范围。
（2）找出图上的无约束最优解和对应的函数值，约束最优解和；
（3）若加入一个等式约束条件：
求此时的最优解，。
下图为目标函数与约束函数（条件）设计平面X1OX2。
其中的同心圆是目标函数依次为f（X）=1、2、3、4时的四条等值线；
阴影的所围的部分为可行域。
由于目标函数的等值线为一同心圆，所以无约束最优解为该圆圆心即：
X1*＝[3，4]T
函数值f（X1*）=0。
而约束最优解应在由约束线g1（X）=0，g2（X）=0，g3（X）=0，g4（X）=0，组成的可行域（阴影线内侧）内寻找，即约束曲线g1（X）=0与某一等值线的一个切点X2*，可以联立方程：
，解得X2*=[2，3]。
函数值f（X2*）=（2-3）2+（3-4）2=2。
加入等式约束条件，则X3*为可行域上为h1（X）=0上与某一条等值线的交点，可以联立方程：
，解得X3*=[5/2，5/2]。
函数值f（X3*）=（5/2-3）2+（5/2-4）2=2.5。
2-6试证明在点处函数具有极小值。
证明：
求驻点：
，
H（X）是正定的，所以驻点必定是极小点。
故在点处函数具有极小值。
2-7求函数的极值点，并判断其极值的性质。
H（X）是正定的，所以，为凸函数。
2-8试判断函数的凸性。
H（X）是正定的，
所以，为凸函数。
2-9试用向量及矩阵形式表示并证明它在上是一个凸函数。
2-10现已获得优化问题
的一个数值解,试判定该解是否上述问题的最优解。
第三章习题答案
3-1函数，当初始点分别为及时，用进退法确定其一维优化的搜索区间，取初始步长。
当时
（1）取
=0.1
比较，因，所以应作前进搜索。
⑵步长加倍：
=0.3
再比较，因，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的点。
所以：
。
（3）步长加倍：
=0.7
.
比较，因，所以还应再向前搜索,。
（4）步长加倍：
=1.5
比较，因。
已找到具有“高－低－高”特征的区间
即：
时，
时，
时，。
所以，，单峰区间为：
。
同理可得：
3-2用黄金分割法求函数在区间中的极小点，要求计算到最大未确定区间长度小于0.05。
（1）在初始区间[a,b]＝[-3，5]中取计算点并计算函数值
（2）比较函数值，缩短搜索区间
因有f1≤f2，则
（3）判断迭代终止条件
b－a＞ε
不满足迭代终止条件，比较函数值f1、f2继续缩短区间。
将各次缩短区间的有关计算数据列于下表。
表黄金分割法的搜索过程
区间缩短次数
a
b
α
（1）
α
（2）
f1
f2
（原区间）
-3
5
0.056
1.944
0.115
7.667
1
-1.111
-0.987
2
-1.832
-0.306
3
-0.665
-0.888
4
-1.386
-0.851
（5-8）略
9
-1.11122
-0.94097
-1.046
-1.006
-0.
3-3用二次插值法求函数的最优解。
已知搜区间为，选代精度。
采用Matlab编程计算得：
3-4函数，取初始点为，规定沿点的负梯度方向进行一次一维优化搜索，选代精度:
（1）用进退法确定一维优化搜索区间；
（2）用黄金分割法求最优化步长及一维优化最优值；
（3）用二次插值法求最优化步长及一维优化最优值；
（4）上述两种一维优化方法在求解本题时，哪一个种方法收取更快，原因是什么？
最优点,最优值
二次插值法更快
3-5求的极小点，选代精度。
要求：
（1）从出发，为步长确定搜索区间；
（2）用黄金分割法求极值点；
（3）用二次插值法求极值点。
（1）①由已知条件可得，
因为，应作前进搜索。
②步长加倍，，
因为，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的点。
③步长加倍，，
④步长加倍，，
⑤步长加倍，，
因为，所以已找到具有“高—低—高”特征的区间
即时，；
时，；
时，。
（2）由
（1）确定的搜索区间[0.7,3.1]，利用Matlab进行黄金分割法一维优化搜索得:
（3）由
（1）确定的搜索区间[0.7,3.1]，利用Matlab进行二次插值法一维优化搜索得:
4-1解：
初始点取,因此。
本题中以函数下降量为终止准则。
第1轮搜索方向，取两坐标轴的单位向量，即取：
从初始点出发，首先沿方向进行一维最优化搜索，求点，即求解：
为此，需先求出最优步长，而后代入式：
，就可求出以为初始点，沿着方向进行一维优化求解的最优点。
因为、已知，由第3章的概念可得：
，下列采用解析法求极值。
因为
所以
由可得
则
而函数值：
再从点出发，沿方向进行一维最优化搜索，求点：
故
函数下降量：
第二轮搜索：
先从点出发，沿着方向进行一维最优化搜索，求点，
函数下降
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