考研数学基础班概率统计讲义-汤家凤Word下载.docx
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【注解】
（1）A=（A-B）+AB，且A-B与AB互斥。
（2）A+B=（A-B）+（B-A）+AB，且A-B,B-A,AB两两互斥。
（四）事件运算的性质
1、
（1）ABÌ
A（或B）Ì
A+B；
（2）AB=BA,A+B=B+A；
2、
（1）AÈ
A=A,AÇ
A=A；
（2）AÇ
（BÈ
C）=（AÇ
B）È
（AÇ
C）,AÈ
（BÇ
C）=（AÈ
B）Ç
（AÈ
C）；
3、
（1）A=（A-B）È
A；
（2）（A-B）Ç
A=A-B；
（3）A+B=（A-B）È
ABÈ
（B-A）。
4、
（1）A+A=Ù
；
（2）AÇ
A=f。
二、概率的定义与性质
（一）概率的定义—设随机试验的样本空间为Ù
，满足如下条件的随机事件的函数P（·
）称为所对应事件的概率：
18
1、对事件A，有P（A）³
0（非负性）。
2、P（Ù
）=1（归一性）。
¥
3、设A1,A2,L,An,L为不相容的随机事件，则有P（UAn）=å
P（An）（可列可加性）。
n=1 n=1
（二）概率的基本性质
1、P（f）=0。
å
n n
2、设A1,A2,L,An为互不相容的有限个随机事件列，则P（UAk）= P（Ak）。
k=1 k=1
3、P（A）=1-P（A）。
4、（减法公式）P（A-B）=P（A）-P（AB）。
（三）概率基本公式
1、加法公式
（1）P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）。
（2）P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）。
2、条件概率公式：
设A,B是两个事件，且P（A）>
0，则P（B|A）=P（AB）。
P（A）
3、乘法公式
（1）设P（A）>
0，则P（AB）=P（A）P（B|A）。
（2）P（A1A2LAn）=P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）LP（An|A1A2LAn-1）。
三、事件的独立性
1、两个事件的独立—设A,B是两个事件，若P（AB）=P（A）P（B），称事件A,B相互独立。
⎧P（AB）=P（A）P（B）;
⎪P（AC）=P（A）P（C）;
2、三个事件的独立—设A,B,C是三个事件，若⎨
⎪P（BC）=P（B）P（C）;
⎩P（ABC）=P（A）P（B）P（C）,
，称事件A,B,C相互独立。
（1）A,B相互独立的充分必要条件是A,B、A,B、A,B任何一对相互独立。
（2）设P（A）=0或P（A）=1，则A与任何事件B独立。
（3）设P（A）>
0,P（B）>
0，若A,B独立，则A,B不互斥；
若A,B互斥，则A,B不独立。
四、全概率公式与Bayes公式
1、完备事件组—设事件组A1,A2,L,An满足：
（1）AiAj=f（i,j=1,2,L,n,i¹
j）；
n
（2）UAi=Ù
，则称事件组A1,A2,L,An为一个完备事件组。
i=1
2、全概率公式：
设A1,A2,L,An是一个完备事件组，且P（Ai）>
0（i=1,2,L,n），B为事件，则
P（B）=å
P（Ai）P（B|Ai）。
3、贝叶斯公式：
设A1,A2,L,An为一个完备事件组，且P（Ai）>
0（i=1,2,L,n），B为任一随机事件，P（B）>
0，则P（A|B）=P（Ai）P（B|Ai）。
i P（B）
例题选讲
一、填空题
1、设P（A）=0.4,P（AÈ
B）=0.7，
（1）若A,B不相容，则P（B）=；
（2）若A,B相互独立，则P（B）=。
2、设P（A）=P（B）=P（C）=1,P（AB）=P（AC）=P（BC）=1
4 6
，则事件A,B,C全不发生的概率为
。
，且有 ，
3、设两两相互独立的事件A,B,C满足：
ABC=f,P（A）=P（B）=P（C）<
1 P（A+B+C）=9
2 16
则P（A）=。
4、设事件A,B满足P（AB）=P（AB），且P（A）=p，则P（B）=。
5、设A,B为两个相互独立的随机事件，且A,B都不发生的概率为1，A发生B不发生的概率与A不发生B
9
发生的概率相等，则P（A）=。
二、选择题：
1、设A,B是两个随机事件，且0<
P（A）<
1,P（B）>
0,P（B|A）=P（B|A），则[ ]
（A）P（A|B）=P（A|B）；
（B）P（A|B）¹
P（A|B）；
（C）P（AB）=P（A）P（B）；
（D）P（AB）¹
P（A）P（B）。
2、设事件A,B满足0<
1,0<
P（B）<
1，且P（A|B）+P（A|B）=1，则[ ]
（A）事件A,B对立；
（B）事件A,B相互独立；
（C）事件A,B不相互独立；
（D）事件A,B不相容。
三、解答题
1、一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取2次，每次抽取一个，抽取后不放回，求第二次抽取的是次品的的概率。
2、设工厂A与工厂B的次品率分别为1%和2%，现从由A和B生产的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品是A生产的概率。
，求事件
3、设事件A在每次试验中的概率为p，三次独立重复试验中事件A至少出现一次的概率为19 A
27
发生的概率p。
4、甲乙两人独立对同一目标射击一次，命中率分别为50%和60%，已知目标被命中，求是甲命中的概率。
第二章 一维随机变量及其分布
一、基本概念
1、随机变量—设Ù
为随机试验E的样本空间，x为定义在Ù
上的函数，对任意的wÎ
Ù
，总存在唯一确定的x（w）与之对应，称x为随机变量，若x的可能取值为有限个或可列个，称x为离散型随机变量，若x在某可区间上连续取值，称x为连续型随机变量。
2、分布函数—设x为一个随机变量，称函数F（x）=P{x£
x}（-¥
<
x<
+¥
）为随机变量x的分布函数。
【注解1】分布函数的四个特征为
（1）0£
F（x）£
1。
（2）F（x）单调不减。
（3）F（x）右连续。
（4）F（-¥
）=0,F（+¥
）=1。
【注解2】分布函数的性质
（1）P{X<
a}=F（a-0）。
（2）P{X=a}=F（a）-F（a-0）。
（3）P{a<
x£
b}=F（b）-F（a）。
（4）P{a<
X<
b}=F（b-0）-F（a）。
3、离散型随机变量的分布律—称P{X=xi}=pi（1£
i£
n）称为随机变量X的分布律。
（1）pi³
0（1£
n）。
（2）p1+p2+L+pn=1。
4、连续型随机变量的密度函数—设X的分布函数为F（x），若存在非负可积函数f（x），使得
x
F（x）=ò
-¥
f（t）dt，称f（x）为X的密度函数。
+¥
（1）f（x）³
0。
（2）ò
f（x）dx=1。
二、常见随机变量及其分布
（一）离散型
1、二项分布—若随机变量X的分布律为P{X=k}=Ckpk（1-p）n-k（0£
k£
n），称随机变量X服从二项分布，记为X~B（n,p）。
2、Poisson分布—若随机变量X的分布律为P{X=k}=lke-l（k=0,1,2,L），称随机变量X服从泊松分
k!
布，记为X~p（l）。
3、几何分布—若随机变量X的分布律为P{X=k}=p（1-p）k-1（k=1,2,L），称随机变量X服从几何分布，记为X~G（p）。
（二）连续型
⎧1,a£
b
⎨
1、均匀分布—若随机变量x的密度函数为f（x）=⎪b-a
⎩0,其他
，称随机变量x服从均匀分布，记为
⎧0,x<
0
x~U（a,b），其分布函数为F（x）=⎪⎪x-a,a£
b。
⎪b-a
⎩1,x³
2、正态分布—若随机变量x的密度函数为f（x）=
1
e
2ps
-（x-m）2
2s2（-¥
），称随机变量x服从正态
分布，记为x~N（m,s2），特别地，若m=0,s
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