考研数学基础班概率统计讲义-汤家凤Word下载.docx

1、【注解】（1） A = （ A - B） + AB ，且 A - B 与 AB 互斥。（2） A + B = （ A - B） + （B - A） + AB ，且 A - B, B - A, AB 两两互斥。（四）事件运算的性质1、（1） AB A（或 B） A + B ；（2） AB = BA, A + B = B + A ；2、（1） A A = A, A A = A ；（2） A （B C） = （ A B） （ A C）, A （B C） = （ A B） （ A C） ；3、（1） A = （ A - B） A ；（2） （ A - B） A = A - B ；（3） A + B =

2、 （ A - B） AB （B - A） 。4、（1） A + A = ；（2） A A = f 。二、概率的定义与性质（一）概率的定义设随机试验的样本空间为，满足如下条件的随机事件的函数P（） 称为所对应事件的概率：181、对事件 A ，有 P（ A） 0 （非负性）。2、P（） = 1（归一性）。3、设 A1, A2 ,L, An ,L为不相容的随机事件，则有P（ U An ） = P（An ）（可列可加性）。n=1n=1（二）概率的基本性质1、 P（f） = 0 。nn2、设 A1, A2 ,L, An 为互不相容的有限个随机事件列，则 P（ U Ak ） =P（ Ak ） 。k =1k

3、 =13、 P（ A） = 1- P（ A） 。4、（减法公式） P（ A - B） = P（ A） - P（ AB） 。（三）概率基本公式1、加法公式（1） P（ A + B） = P（ A） + P（B） - P（ AB） 。（2） P（ A + B + C） = P（ A） + P（B） + P（C） - P（ AB） - P（ AC） - P（BC） + P（ ABC） 。2、条件概率公式：设 A, B 是两个事件，且 P（ A） 0 ，则 P（B | A） = P（ AB） 。P（ A）3、乘法公式（1）设 P（ A） 0 ，则 P（ AB） = P（ A）P（B | A） 。（2）

4、 P（ A1A2 L An ） = P（ A1）P（ A2 | A1）P（ A3 | A1A2 ）LP（ An | A1A2 L An-1） 。三、事件的独立性1、两个事件的独立设 A, B 是两个事件，若 P（ AB） = P（ A）P（B） ，称事件 A, B 相互独立。P（ AB） = P（ A）P（B）;P（ AC） = P（ A）P（C）;2、三个事件的独立设 A, B, C 是三个事件，若P（BC） = P（B）P（C）;P（ ABC） = P（ A）P（B）P（C）,，称事件 A, B, C 相互独立。（1） A, B 相互独立的充分必要条件是 A, B 、 A, B 、 A,

5、B 任何一对相互独立。（2） 设 P（ A） = 0 或 P（ A） = 1 ，则 A 与任何事件 B 独立。（3） 设 P（ A） 0, P（B） 0 ，若 A, B 独立，则 A, B 不互斥；若 A, B 互斥，则 A, B 不独立。四、全概率公式与 Bayes 公式1、完备事件组设事件组 A1, A2,L, An 满足：（1） Ai Aj = f（i, j = 1,2,L,n,i j） ；n（2） U Ai = ，则称事件组 A1, A2 ,L, An 为一个完备事件组。i=12 、全 概率 公式： 设 A1, A2 ,L, An 是一个完备事 件组， 且 P（ Ai ） 0（i =

6、1,2,L, n） ， B 为事件， 则P（B） = P（ Ai ）P（B | Ai ） 。3、贝叶斯公式：设 A1, A2,L, An 为一个完备事件组，且 P（Ai ） 0（i =1,2,L,n） ， B 为任一随机事件， P（B） 0 ，则 P（ A | B） = P（ Ai ）P（B | Ai ） 。iP（B）例题选讲一、填空题1、设 P（ A） = 0.4, P（ A B） = 0.7 ，（1）若 A, B 不相容，则 P（B） = ；（2）若 A, B 相互独立，则 P（B） = 。2 、设 P（ A） = P（B） = P（C） = 1 , P（ AB） = P（ AC） = P

7、（BC） = 146， 则事件 A, B, C 全不发生的概率为。，且有，3、设两两相互独立的事件 A, B, C 满足： ABC = f, P（ A） = P（B） = P（C） 1P（ A + B + C） = 9 216则 P（ A） = 。4、设事件 A, B 满足 P（ AB） = P（ AB） ，且 P（ A） = p ，则 P（B） = 。5、设A, B 为两个相互独立的随机事件，且 A, B 都不发生的概率为 1 ，A 发生 B 不发生的概率与 A 不发生 B9发生的概率相等，则 P（ A） = 。二、选择题：1、设 A, B 是两个随机事件，且0 P（ A） 0, P（B |

8、 A） = P（B | A） ，则（ A）P（ A | B） = P（ A | B） ；（B）P（ A | B） P（ A | B） ；（C）P（ AB） = P（ A）P（B） ；（D）P（ AB） P（ A）P（B） 。2、设事件 A, B 满足0 1,0 P（B） 1，且 P（ A | B） + P（ A | B） = 1 ，则（ A） 事件 A, B 对立；（B） 事件 A, B 相互独立；（C） 事件 A, B 不相互独立；（D） 事件 A, B 不相容。三、解答题1、一批产品共有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取 2 次，每次抽取一个，抽取后不放回，求第二次抽取的是次品的的概率

9、。2、设工厂 A 与工厂 B 的次品率分别为 1%和 2%，现从由 A 和 B 生产的产品分别占 60%和 40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品是 A 生产的概率。，求事件3、设事件 A 在每次试验中的概率为 p ，三次独立重复试验中事件 A 至少出现一次的概率为 19A27发生的概率 p 。4、甲乙两人独立对同一目标射击一次，命中率分别为 50%和 60%，已知目标被命中，求是甲命中的概率。第二章一维随机变量及其分布一、基本概念1、随机变量设 为随机试验 E 的样本空间，x为定义在上的函数 ，对任意的 w ，总存在唯一确定的x （w） 与之对应，称x 为随机变量，若x 的可能

10、取值为有限个或可列个，称x 为离散型随机变量，若x 在某可区间上连续取值，称x 为连续型随机变量。2、分布函数设x 为一个随机变量，称函数 F （x） = Px x（- x +） 为随机变量x 的分布函数。【注解 1】分布函数的四个特征为（1） 0 F （x） 1 。（2） F （x）单调不减。（3） F （x）右连续。（4） F （-） = 0, F （+） = 1 。【注解 2】分布函数的性质（1） PX a = F （a - 0） 。（2） PX = a = F （a） - F （a - 0） 。（3） Pa x b = F （b） - F （a） 。（4） Pa X b = F （b

11、- 0） - F （a） 。3、离散型随机变量的分布律称 PX = xi = pi （1 i n） 称为随机变量 X 的分布律。（1） pi 0（1 n） 。（2） p1 + p2 +L+ pn = 1 。4 、连续型随机变量的密度函数 设 X 的分布函数为 F （x） ， 若存在非负可积函数 f （x） ， 使得xF （x） = - f （t）dt ，称 f （x） 为 X 的密度函数。+（1） f （x） 0 。（2） f （x）dx = 1。二、常见随机变量及其分布（一）离散型1、二项分布若随机变量 X 的分布律为 PX = k = Ck pk （1- p）n-k （0 k n） ，称随

12、机变量 X 服从二项分布，记为 X B（n, p） 。2、Poisson 分布若随机变量 X 的分布律为 PX = k = lk e-l （k = 0,1,2,L） ，称随机变量 X 服从泊松分k!布，记为 X p （l） 。3、几何分布若随机变量 X 的分布律为 PX = k = p（1 - p）k -1 （k = 1,2,L） ，称随机变量 X 服从几何分布，记为 X G（ p） 。（二）连续型 1 , a b1、均匀分布若随机变量x 的密度函数为 f （x） = b - a0, 其他，称随机变量x 服从均匀分布，记为0, x 0x U （a, b） ，其分布函数为 F （x） = x - a , a b 。b - a1, x 2、正态分布若随机变量 x 的密度函数为 f （x） =1e2ps-（ x-m ）22s 2 （-） ，称随机变量x 服从正态分布，记为x N （m,s 2 ） ，特别地，若m = 0,s