Newton迭代法求解非线性方程文档格式.docx

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取作为原方程的新近似根，即令：

k=0,1,2,…（1-4）

上式称为牛顿迭代格式。

用牛顿迭代格式求方程的根的方法就称为牛顿迭代法，简称牛顿法。

牛顿法具有明显的几何意义。

方程：

（1-5）

是曲线上点处的切线方程。

迭代格式（1-4）就是用切线式（1-5）的零点来代替曲线的零点。

正因为如此，牛顿法也称为切线法。

牛顿迭代法对单根至少是二阶局部收敛的，而对于重根是一阶局部收敛的。

一般来说，牛顿法对初值的要求较高，初值足够靠近时才能保证收敛。

若要保证初值在较大范围内收敛，则需对加一些条件。

如果所加的条件不满足，而导致牛顿法不收敛时，则需对牛顿法作一些改时，即可以采用下面的迭代格式：

（1-6）

上式中，，称为下山因子。

因此，用这种方法求方程的根，也称为牛顿下山法。

牛顿法对单根收敛速度快，但每迭代一次，除需计算之外，还要计算的值。

如果比较复杂，计算的工作量就可能比较大。

为了避免计算导数值，我们可用差商来代替导数。

通常用如下几种方法：

1.割线法

如果用代替，则得到割线法的迭代格式为：

（1-7）

2.拟牛顿法

如果用代替，则得到拟牛顿法的迭代格式为：

（1-8）

3.Steffenson法

（1-9）

二、算法分析

割线法的迭代公式为：

k=0,1,2,…

割线法是超线性收敛，其程序流程图为：

牛顿拟迭代法迭代公式为：

（1）对单根条件下，牛顿拟迭代法平方收敛，牛顿拟迭代法程序框图如下所示：

（2）对重根条件下，此时迭代公式修改为：

m为根的重数

此时，牛顿迭代法至少平方收敛。

Steffenson迭代法程序流程图与牛顿拟迭代法类似。

三、牛顿法的程序

给定初值，用牛顿法格式，，求解非线性方程。

*********************************************************************

function[p1,err,k,y]=newton（f1041,df1041,p0,delta,max1）

%f1041是非线性函数。

%df1041是f1041的微商。

%p0是初始值。

%delta是给定允许误差。

%max1是迭代的最大次数。

%p1是牛顿法求得的方程的近似解。

%err是p0的误差估计。

%k是迭代次数。

%y=f（p1）

p0,feval（'

f1041'

p0）

fork=1:

max1

p1=p0-feval（'

p0）/feval（'

df1041'

p0）;

err=abs（p1-p0）;

p0=p1;

p1,err,k,y=feval（'

p1）

if（err<

delta）|（y==0）,

break,

end

p1,err,k,y=feval（'

end

四、程序实例与计算结果

例用上述程序求方程的一个近似解，给定初值为，误差界为。

解：

先用m文件先定义二个名为和的函数文件。

functiony=f1041（x）

y=x^3–3*x+2;

functiony=df1041（x）

y=3*x^2-3;

建立一个主程序

clear

newton（'

'

,10^（-6）,18）

然后在MATLAB命令窗口运行上述主程序，即：

>

>

prog1041

计算结果如下：

p0=

ans=

p1=

err=

k=1

y=

k=2

k=3

k=4

y=

k=5

k=6

k=7

err=

k=8

k=9

k=10

k=11

k=12

k=13

k=14

k=15

k=16

k=17

k=18

这说明，经过18次迭代得到满足精度要求的值。

以下是程序运行截图：