Newton迭代法求解非线性方程文档格式.docx

1、取作为原方程的新近似根，即令： , k=0,1,2, （1-4）上式称为牛顿迭代格式。用牛顿迭代格式求方程的根的方法就称为牛顿迭代法，简称牛顿法。 牛顿法具有明显的几何意义。方程： （1-5）是曲线上点处的切线方程。迭代格式（1-4）就是用切线式（1-5）的零点来代替曲线的零点。正因为如此，牛顿法也称为切线法。 牛顿迭代法对单根至少是二阶局部收敛的，而对于重根是一阶局部收敛的。一般来说，牛顿法对初值的要求较高，初值足够靠近时才能保证收敛。若要保证初值在较大范围内收敛，则需对加一些条件。如果所加的条件不满足，而导致牛顿法不收敛时，则需对牛顿法作一些改时，即可以采用下面的迭代格式：, （1-6）上

2、式中，称为下山因子。因此，用这种方法求方程的根，也称为牛顿下山法。牛顿法对单根收敛速度快，但每迭代一次，除需计算之外，还要计算的值。如果比较复杂，计算的工作量就可能比较大。为了避免计算导数值，我们可用差商来代替导数。通常用如下几种方法：1. 割线法如果用 代替，则得到割线法的迭代格式为： （1-7）2. 拟牛顿法如果用代替，则得到拟牛顿法的迭代格式为： （1-8）3. Steffenson法 （1-9）二、 算法分析割线法的迭代公式为：,k=0,1,2,割线法是超线性收敛，其程序流程图为：牛顿拟迭代法迭代公式为：（1） 对单根条件下，牛顿拟迭代法平方收敛，牛顿拟迭代法程序框图如下所示：（2）

3、对重根条件下，此时迭代公式修改为：,m为根的重数此时，牛顿迭代法至少平方收敛。Steffenson迭代法程序流程图与牛顿拟迭代法类似。三、 牛顿法的程序 给定初值，用牛顿法格式，求解非线性方程。*function p1,err,k,y = newton（f1041,df1041,p0,delta,max1）% f1041是非线性函数。% df1041是f1041的微商。% p0是初始值。% delta是给定允许误差。% max1是迭代的最大次数。% p1是牛顿法求得的方程的近似解。% err是p0的误差估计。% k是迭代次数。% y = f（p1）p0, feval（f1041,p0）for k = 1:max1 p1 = p0 - feval（, p0）/feval（df1041, p0）; err = abs（p1-p0）; p0 = p1; p1, err, k, y = feval（, p1） if （err prog1041计算结果如下：p0 = ans = p1 = err = k = 1y = k = 2k = 3k = 4y = k = 5k = 6k = 7err = k = 8k = 9k = 10k = 11k = 12k = 13k = 14k = 15k = 16k = 17k = 18这说明，经过18次迭代得到满足精度要求的值。以下是程序运行截图：