2020高考数学二轮复习专题讲练13解析几何大题解答题专项(最新-超经典)Word文档格式.docx
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解答题的热点题型有:
1.直线与圆锥曲线的位置关系。
2.圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解。
3.轨迹方程及探索性问题的求解。
考点一求值与证明问题
【例1】 (2019·
全国Ⅰ卷)已知抛物线C:
y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P。
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
(2)若=3,求|AB|。
解 设直线l:
y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2)。
(1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得x1+x2=。
由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,
则x1+x2=-。
从而-=,得t=-。
所以l的方程为y=x-。
(2)由=3可得y1=-3y2。
由可得y2-2y+2t=0。
所以y1+y2=2。
从而-3y2+y2=2,
故y2=-1,y1=3。
代入C的方程得x1=3,x2=。
故|AB|=。
求值与证明问题大多联系圆锥曲线的定义、方程、几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系,有时还要注意运用平面几何的知识。
【变式训练1】 (2019·
福州市模拟)已知点A在椭圆C:
+=1(a>
b>
0)上,O为坐标原点,直线l:
-=1的斜率与直线OA的斜率乘积为-。
(1)求椭圆C的方程;
(2)不经过点A的直线y=x+t(t≠0且t∈R)与椭圆C交于P,Q两点,P关于原点的对称点为R(与点A不重合),直线AQ,AR与y轴分别交于M,N两点。
求证:
|AM|=|AN|。
解
(1)由题意知,
kOA·
kl=-·
=-=-。
即a2=4b2 ①,
又+=1 ②,
所以联立①②,解得
所以椭圆C的方程为+y2=1。
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则R(-x1,-y1),由
得x2+tx+t2-1=0,
所以Δ=4-t2>
0,即-2<
t<
2,
又t≠0,所以t∈(-2,0)∪(0,2),
x1+x2=-t,x1·
x2=t2-1。
证法一:
要证明|AM|=|AN|,可转化为证明直线AQ、AR的斜率互为相反数,即证明kAQ+kAR=0。
由题意知,kAQ+kAR=+
=
==0。
所以|AM|=|AN|。
证法二:
要证明|AM|=|AN|,可转化为证明直线AQ,AR与y轴的交点M,N连线的中点S的纵坐标为-,即AS垂直平分MN即可。
直线AQ与AR的方程分别为
lAQ:
y+=(x-1),
lAR:
分别令x=0,得yM=-,
yN=-,
所以yM+yN=+-
-
=-
=-,
yS==-,即AS垂直平分MN。
考点二最值与范围问题
【例2】 (2019·
全国Ⅱ卷)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-,记M的轨迹为曲线C。
(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;
(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连接QE并延长交C于点G。
①证明:
△PQG是直角三角形;
②求△PQG面积的最大值。
解
(1)由题设得·
=-,化简得+=1(|x|≠2),所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左右顶点。
(2)①证明:
设直线PQ的斜率为k,则其方程为y=kx(k>
0)。
由得x=±
。
记u=,则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0)。
于是直线QG的斜率为,
方程为y=(x-u)。
由得
(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0 ①。
设G(xG,yG),则-u和xG是方程①的解,
故xG=,由此得yG=。
从而直线PG的斜率为=-。
所以PQ⊥PG,即△PQG是直角三角形。
②由①得|PQ|=2u,|PG|=,
所以△PQG的面积S=|PQ||PG|==。
设t=k+,则由k>
0得t≥2,当且仅当k=1时取等号。
因为S=在[2,+∞)单调递减,
所以当t=2,即k=1时,S取得最大值,最大值为。
因此,△PQG面积的最大值为。
解决圆锥曲线中最值与范围问题,一般有两个思路:
①构造关于所求量的函数,通过求函数的值域来获得问题的解;
②构造关于所求量的不等式,通过解不等式来获得问题的解。
在解题过程中,一定要深刻挖掘题目中的隐含条件。
【变式训练2】 (2019·
江西省五校协作体联考)平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:
0)右焦点的直线x+y-=0交M于A,B两点,且椭圆M的离心率为。
(1)求椭圆M的方程;
(2)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值。
解
(1)易知椭圆M的右焦点为(,0),则c=。
离心率e===,则a=,故b2=a2-c2=3。
所以椭圆M的方程为+=1。
(2)由解得或
因此|AB|=。
由题意可设直线CD的方程为y=x+n,C(x3,y3),D(x4,y4)。
由得3x2+4nx+2n2-6=0,
则
所以|CD|=|x4-x3|=·
=。
由已知,四边形ACBD的面积S=|CD|·
|AB|=。
当n=0时,S取得最大值,最大值为。
所以四边形ACBD面积的最大值为。
考点三定点与定值问题
【例3】 (2019·
北京高考)已知抛物线C:
x2=-2py经过点(2,-1)。
(1)求抛物线C的方程及其准线方程;
(2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=-1分别交直线OM,ON于点A和点B。
以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点。
解
(1)由抛物线C:
x2=-2py经过点(2,-1),得p=2。
所以抛物线C的方程为x2=-4y,其准线方程为y=1。
(2)抛物线C的焦点为F(0,-1)。
设直线l的方程为y=kx-1(k≠0)。
由得x2+4kx-4=0。
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=-4。
直线OM的方程为y=x。
令y=-1,得点A的横坐标xA=-。
同理得点B的横坐标xB=-。
设点D(0,n),则=,
=,
·
=+(n+1)2
=-4+(n+1)2。
令·
=0,即-4+(n+1)2=0,得n=1或n=-3。
综上,以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,-3)。
(1)动线过定点问题的两大类型及解法
①动直线l过定点问题,解法:
设动直线方程(斜率存在)为y=kx+t,由题设条件将t用k表示为t=mk,得y=k(x+m),故动直线过定点(-m,0)。
②动曲线C过定点问题,解法:
引入参变量建立曲线C的方程,再根据其对参变量恒成立,令其系数等于零,得出定点。
(2)求解定值问题的两大途径
①→
②先将式子用动点坐标或动线中的参数表示,再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值。
【变式训练3】 (2019·
南昌市第一次模拟)已知椭圆C:
0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,P是C上的一个动点,且△F1PF2面积的最大值为4。
(1)求C的方程;
(2)设C的左、右顶点分别为A,B,若直线PA,PB分别交直线x=2于M,N两点,过点F1作以MN为直径的圆的切线,证明:
切线长为定值,并求该定值。
解
(1)设P(x0,y0),椭圆的半焦距为c。
因为S△F1PF2=|F1F2|·
|y0|≤·
2c·
b=bc,
所以bc=4。
又e==,a2=b2+c2,
所以a=4,b=2,c=2,
所以C的方程为+=1。
(2)由
(1)可知A(-4,0),B(4,0),F1(-2,0)。
由题可知,x0≠2,且x0≠±
4。
设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,
则直线PA的方程为y=k1(x+4),
令x=2得y=6k1,故M(2,6k1)。
直线PB的方程为y=k2(x-4),
令x=2得y=-2k2,故N(2,-2k2)。
记以MN为直径的圆为圆D,则D(2,3k1-k2)。
如图,过点F1作圆D的一条切线,切点为T,连接F1D,DT。
则|F1T|2=|F1D|2-|DT|2,
所以|F1T|2=16+(3k1-k2)2-(3k1+k2)2=16-12k1k2,
又k1=,k2=,
所以k1·
k2=·
由+=1,得y=-(x-16),
k2=-,
则|F1T|2=16-12k1k2=16-12×
=25,
所以|F1T|=5。
故切线长为定值5。
【变式训练4】 (2019·
石家庄教学质量检测)已知椭圆C:
0)的离心率为,且经过点。
(1)求椭圆C的方程。
(2)过点(,0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,试问在x轴上是否存在定点Q,使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称?
若存在,求出点Q的坐标;
若不存在,说明理由。
解
(1)由题意可得=,+=1,
又a2-b2=c2,所以a2=4,b2=1。
(2)存在定点Q,满足直线QA与直线QB恰关于x轴对称。
理由如下:
设直线l的方程为x+my-=0,与椭圆C的方程联立得
整理得,(4+m2)y2-2my-1=0。
设A(x1,y1),B(x2,y2),定点Q(t,0)(依题意t≠x1,t≠x2)。
由根与系数的关系可得,
y1+y2=,y1y2=。
直线QA与直线QB恰关于x轴对称,则直线QA与直线QB的斜率互为相反数,
所以+=0,即y1(x2-t)+y2(x1-t)=0。
又x1+my1-=0,x2+my2-=0,
所以y1(-my2-t)+y2(-my1-t)=0,
整理得,(-t)(y1+y2)-2my1y2=0,
从而可得,(-t)·
-2m·
=0,
即2m(4-t)=0,
所以当t=,即Q时,直线QA与直线QB恰关于x轴对称。
特别地,当直线l为x轴时,Q也符合题意。
综上所述,在x轴上存在定点Q,使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称。
重点增分专练(十一) 解析几何大题考向探究
第一次作业 基础通关训练
1.(2019·
贵阳市监测考试)已知椭圆C:
0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M为短轴的上端点,·
=0,过F2垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,且|AB|=。
(2)设经过点(2,-1)且不经过点M的直线l与椭圆C相交于G,H两点,若k1,k2分别是直线MG,MH的斜率,求k1+k2的值。
解
(1)由·
=0,得b=c,
将x=c代入+=1中,得y=