1、解答题的热点题型有:1直线与圆锥曲线的位置关系。2圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解。3轨迹方程及探索性问题的求解。考点一 求值与证明问题【例1】(2019全国卷)已知抛物线C:y23x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P。(1)若|AF|BF|4,求l的方程;(2)若3,求|AB|。解设直线l:yxt,A(x1,y1),B(x2,y2)。(1)由题设得F,故|AF|BF|x1x2,由题设可得x1x2。由可得9x212(t1)x4t20,则x1x2。从而,得t。所以l的方程为yx。(2)由3可得y13y2。由可得y22y2t0。所以y1y22。从而3y2y22,故
2、y21,y13。代入C的方程得x13,x2。故|AB|。求值与证明问题大多联系圆锥曲线的定义、方程、几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系,有时还要注意运用平面几何的知识。 【变式训练1】(2019福州市模拟)已知点A在椭圆C:1(ab0)上,O为坐标原点,直线l:1的斜率与直线OA的斜率乘积为。(1)求椭圆C的方程;(2)不经过点A的直线yxt(t0且tR)与椭圆C交于P,Q两点,P关于原点的对称点为R(与点A不重合),直线AQ,AR与y轴分别交于M,N两点。求证:|AM|AN|。解(1)由题意知,kOAkl。即a24b2,又1,所以联立,解得所以椭圆C的方程为y21。(2)设P(x1,y1),
3、Q(x2,y2),则R(x1,y1),由得x2txt210,所以4t20,即2t0)。由得x。记u,则P(u,uk),Q(u,uk),E(u,0)。于是直线QG的斜率为,方程为y(xu)。由得(2k2)x22uk2xk2u280。设G(xG,yG),则u和xG是方程的解,故xG,由此得yG。从而直线PG的斜率为。所以PQPG,即PQG是直角三角形。由得|PQ|2u,|PG|,所以PQG的面积S|PQ|PG|。设tk,则由k0得t2,当且仅当k1时取等号。因为S在2,)单调递减,所以当t2,即k1时,S取得最大值,最大值为。因此,PQG面积的最大值为。解决圆锥曲线中最值与范围问题,一般有两个思路
4、:构造关于所求量的函数,通过求函数的值域来获得问题的解;构造关于所求量的不等式,通过解不等式来获得问题的解。在解题过程中,一定要深刻挖掘题目中的隐含条件。【变式训练2】(2019江西省五校协作体联考)平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:0)右焦点的直线xy0交M于A,B两点,且椭圆M的离心率为。(1)求椭圆M的方程;(2)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CDAB,求四边形ACBD面积的最大值。解(1)易知椭圆M的右焦点为(,0),则c。离心率e,则a,故b2a2c23。所以椭圆M的方程为1。(2)由解得或因此|AB|。由题意可设直线CD的方程为yxn,C(x3,y3),D(x4,y4
5、)。由得3x24nx2n260,则所以|CD|x4x3|。由已知,四边形ACBD的面积S|CD|AB|。当n0时,S取得最大值,最大值为。所以四边形ACBD面积的最大值为。考点三 定点与定值问题【例3】(2019北京高考)已知抛物线C:x22py经过点(2,1)。(1)求抛物线C的方程及其准线方程;(2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y1分别交直线OM,ON于点A和点B。以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点。解(1)由抛物线C:x22py经过点(2,1),得p2。所以抛物线C的方程为x24y,其准线方程为y1。(2)抛物线C的焦点为F(0,1)。设
6、直线l的方程为ykx1(k0)。由得x24kx40。设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x24。直线OM的方程为yx。令y1,得点A的横坐标xA。同理得点B的横坐标xB。设点D(0,n),则,(n1)24(n1)2。令0,即4(n1)20,得n1或n3。综上,以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,3)。(1)动线过定点问题的两大类型及解法动直线l过定点问题,解法:设动直线方程(斜率存在)为ykxt,由题设条件将t用k表示为tmk,得yk(xm),故动直线过定点(m,0)。动曲线C过定点问题,解法:引入参变量建立曲线C的方程,再根据其对参变量恒成立,令其系数等于零,得出定点。
7、(2)求解定值问题的两大途径先将式子用动点坐标或动线中的参数表示,再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值。【变式训练3】(2019南昌市第一次模拟)已知椭圆C:0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,P是C上的一个动点,且F1PF2面积的最大值为4。(1)求C的方程;(2)设C的左、右顶点分别为A,B,若直线PA,PB分别交直线x2于M,N两点,过点F1作以MN为直径的圆的切线,证明:切线长为定值,并求该定值。解(1)设P(x0,y0),椭圆的半焦距为c。因为SF1PF2|F1F2|y0|2cbbc,所以bc4。又e,a2b2c2,所以a4,b2,c2,所以
8、C的方程为1。(2)由(1)可知A(4,0),B(4,0),F1(2,0)。由题可知,x02,且x04。设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则直线PA的方程为yk1(x4),令x2得y6k1,故M(2,6k1)。直线PB的方程为yk2(x4),令x2得y2k2,故N(2,2k2)。记以MN为直径的圆为圆D,则D(2,3k1k2)。如图,过点F1作圆D的一条切线,切点为T,连接F1D,DT。则|F1T|2|F1D|2|DT|2,所以|F1T|216(3k1k2)2(3k1k2)21612k1k2,又k1,k2,所以k1k2由1,得y(x16),k2,则|F1T|21612k1k2161225
9、,所以|F1T|5。故切线长为定值5。【变式训练4】(2019石家庄教学质量检测)已知椭圆C:0)的离心率为,且经过点。(1)求椭圆C的方程。(2)过点(,0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,试问在x轴上是否存在定点Q,使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由。解(1)由题意可得,1,又a2b2c2,所以a24,b21。(2)存在定点Q,满足直线QA与直线QB恰关于x轴对称。理由如下:设直线l的方程为xmy0,与椭圆C的方程联立得整理得,(4m2)y22my10。设A(x1,y1),B(x2,y2),定点Q(t,0)(依题意tx1,tx2)。由根与
10、系数的关系可得,y1y2,y1y2。直线QA与直线QB恰关于x轴对称,则直线QA与直线QB的斜率互为相反数,所以0,即y1(x2t)y2(x1t)0。又x1my10,x2my20,所以y1(my2t)y2(my1t)0,整理得,(t)(y1y2)2my1y20,从而可得,(t)2m0,即2m(4t)0,所以当t,即Q时,直线QA与直线QB恰关于x轴对称。特别地,当直线l为x轴时,Q也符合题意。综上所述,在x轴上存在定点Q,使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称。重点增分专练(十一)解析几何大题考向探究第一次作业基础通关训练1(2019贵阳市监测考试)已知椭圆C:0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M为短轴的上端点,0,过F2垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,且|AB|。(2)设经过点(2,1)且不经过点M的直线l与椭圆C相交于G,H两点,若k1,k2分别是直线MG,MH的斜率,求k1k2的值。解(1)由0,得bc,将xc代入1中,得y
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