含29套全国考研数学二历年真题(1989年至2018年)Word格式文档下载.doc

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21、2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

22、2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

23、2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

24、2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

25、2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

26、2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

27、2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

28、2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

29、2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

1989年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、填空题（每小题3分,满分21分.把答案填在题中横线上.）

（1）＿＿＿＿＿＿.

（2）＿＿＿＿＿＿.

（3）曲线在点处的切线方程是＿＿＿＿＿＿.

（4）设,则＿＿＿＿＿＿.

（5）设是连续函数,且,则＿＿＿＿＿＿.

（6）设在处连续,则常数与应满足的关系是＿＿＿＿＿.

（7）设,则＿＿＿＿＿＿.

二、计算题（每小题4分,满分20分.）

（1）已知,求.

（2）求.

（3）求.

（4）已知求及.

（5）已知及,求.

三、选择题（每小题3分,满分18分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.）

（1）设时,曲线（）

（A）有且仅有水平渐近线

（B）有且仅有铅直渐近线

（C）既有水平渐近线,也有铅直渐近线

（D）既无水平渐近线,也无铅直渐近线

（2）若,则方程（）

（A）无实根（B）有唯一实根

（C）有三个不同实根（D）有五个不同实根

（3）曲线与轴所围成的图形,绕轴旋转一周所成的旋转体的体积为（）

（A）（B）（C）（D）

（4）设两函数及都在处取得极大值,则函数在处

（）

（A）必取极大值（B）必取极小值

（C）不可能取极值（D）是否取极值不能确定

（5）微分方程的一个特解应具有形式（式中为常数）（）

（A）（B）（C）（D）

（6）设在的某个领域内有定义,则在处可导的一个充分条件是（）

（A）存在

（B）存在

（C）存在

（D）存在

四、（本题满分6分）

求微分方程满足的解.

五、（本题满分7分）

设,其中为连续函数,求.

六、（本题满分7分）

证明方程在区间内有且仅有两个不同实根.

七、（本大题满分11分）

对函数,填写下表：

单调减少区间

单调增加区间

极值点

极值

凹（）区间

凸（）区间

拐点

渐近线

八、（本题满分10分）

设抛物线过原点,当时,,又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为,试确定使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.

数学二试题解析

一、填空题（每小题3分,满分21分.）

（1）、

解：

这是个型未定式,可将其等价变换成型,从而利用洛必达法则进行求解.

方法一：

.

方法二：

【相关知识点】是两个重要极限中的一个,.

（2）、

利用分部积分法和牛顿-莱布尼茨公式来求解,

（3）、

要求平面曲线的切线,首先应求出该切线的斜率,即.

这是一个积分上限函数,满足积分上限函数的求导法则,即.

由在其定义域内的连续性,可知.

所以,所求切线方程为,即.

（4）、

利用函数导数的概念求解,即

利用其导数的连续性,由复合函数求导法则可知,

所以.

（5）、

由定积分的性质可知,和变量没有关系,且是连续函数,故

为一常数,为简化计算和防止混淆,

令,则有恒等式,两边0到1积分得

即,

解之得,因此.

（6）、

如果函数在处连续,则函数在该点处的左右极限与该点处函数值必然相等,

由函数连续性可知.

而,

如果在处连续,必有,即.

（7）、

这是个隐函数,按照隐函数求导法,两边微分得,

所以,（）.

（1）解：

令,,则,由复合函数求导法则,,

即.

【相关知识点】复合函数求导法则：

的导数.

（2）解：

利用不定积分的换元积分法,.

（3）解：

可将函数转化称为熟悉的形式来求其极限,

令,则当时,,

则,

这是个比较熟悉的极限,即.

所以,

而,

（4）解：

这是个函数的参数方程,

【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：

如果,则.

（5）解：

利用定积分的分部积分法求解定积分,

令,则,

把及代入上式,得

三、选择题（每小题3分,满分18分.）

（1）、（A）

函数只有间断点.

其中是有界函数.当时,为无穷小,无穷小量和一个有界函数的乘积仍然是无穷小,所以

故函数没有铅直渐近线.

所以为函数的水平渐近线,所以答案为（A）.

【相关知识点】铅直渐近线：

如函数在其间断点处有,则是函数的一条铅直渐近线；

水平渐近线：

当,则为函数的水平渐近线.

（2）、（B）

判定方程实根的个数,其实就是判定函数与有几个交点,即对函数图形的描绘的简单应用,

令,

则.

令,则,

其判别式,

所以无实根,即.

所以在是严格的单调递增函数.

又

所以利用连续函数的介值定理可知,在内至少存在一点使得,又因为是严格的单调函数,故是唯一的.

故有唯一实根,应选（B）.

（3）、（C）

如图的图像,则当绕轴旋转一周,在处取微增,则微柱体的体积,所以体积有

因此选（C）.

（4）、（D）

题中给出的条件中,除了一处极值点外均未指明函数其它性质,为了判定的方便,可以举出反例而排除.

若取,两者都在处取得极大值0,而在处取得极小值,所以（A）、（C）都不正确.

若取,两者都在处取得极大值1,而在处取得极大值1,所以（B）也不正确,从而选（D）.

（5）、（B）

微分方程所对应的齐次微分方程的特征方程为,它的两个根是.

而形如必有特解；

必有特解.

由叠加得原方程必有特解,应选（B）.

（6）、（D）

利用导数的概念判定在处可导的充分条件.

（A）等价于存在,所以只能保证函数在右导数存在；

（B）、（C）显然是在处可导的必要条件,而非充分条件,

如在处不连续,因而不可导,但是

均存在；

（D）是充分的：

存在存在,应选（D）.

所给方程为一阶线性非齐次微分方程,先写成标准形式

通解为.

代入初始条件,得,所求解为.

【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程的标准形式为,其通解公式为

其中为常数.

先将原式进行等价变换,再求导,试着发现其中的规律,

所给方程是含有未知函数及其积分的方程,两边求导,得

再求导,得

即,

这是个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,对应的齐次方程的特征方程为,

此特征方程的根为,而右边的可看作,为特征根,因此非齐次方程有特解.

代入方程并比较系数,得,故,所以

又因为,所以,即.

判定方程等价于判定函数与的交点个数.

其中是定积分,为常数,且被积函数在非负,故

为简化计算,令,即,

则其导数,令解得唯一驻点,

所以,是最大点,最大值为.

又因为,

由连续函数的介值定理知在与各有且仅有一个零点（不相同）,

故方程在有且仅有两个不同实根.

因为当时,,所以

其它同方法一.

函数的定义域为,将函数化简为

令,得,即

故为极小值点.

在处左右变号,所以为函数的拐点.

又故是函数的铅直渐近线；

故是函数的水平渐近线.

填写表格如下：

凹区间

凸区间

由题知曲线过点,得,即.

如图所示,从的面积,所以

由题知,即.

当绕轴旋转一周,则从的体积,所以

旋转体积

用代入消去,得,这是个含有的函数,两边对求导得

令其等于0得唯一驻点,在该处由负变正,此点为极小值点,故体积最小,

这时,故所求函数.

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