《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计Word下载.doc
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灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.
四、教学用具
三角板，彩色粉笔，幻灯片
五、教学方法
教法：
引导探究，归纳总结
学法：
合作讨论，自主学习
六、教学过程
1．导入新课
（问题导入）教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既可以复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备.若sinα=，α∈（0,），cosβ=,β∈（0,）,求cos（α-β）,cos（α+β）的值.学生利用公式C（α-β）很容易求得cos（α-β），但是如果求cos（α+β）的值就得想法转化为公式C（α-β）的形式来求，此时思路受阻,从而引出新课题，并由此展开联想探究其他公式.
2．推进新课
提出问题
①还记得两角差的余弦公式吗？
请一位同学到黑板上默写出来.
②在公式C（α-β）中，角β是任意角，请学生思考角α-β中β换成角-β是否可以？
此时观察角α+β与α-（-β）之间的联系，如何利用公式C（α-β）来推导cos（α+β）=?
③分析观察C（α+β）的结构有何特征？
④在公式C（α-β）、C（α+β）的基础上能否推导sin（α+β）=?
sin（α-β）=?
⑤公式S（α-β）、S（α+β）的结构特征如何？
⑥对比分析公式C（α-β）、C（α+β）、S（α-β）、S（α+β），能否推导出tan（α-β）=?
tan（α+β）=？
⑦分析观察公式T（α-β）、T（α+β）的结构特征如何？
⑧思考如何灵活运用公式解题？
活动：
对问题①，学生默写完后，教师播放幻灯片，然后引导学生观察两角差的余弦公式，点拨学生思考公式中的α,β既然可以是任意角，是怎样任意的？
你会有些什么样的奇妙想法呢？
鼓励学生大胆猜想，引导学生比较cos（α-β）与cos（α+β）中角的内在联系，学生有的会发现α-β中的角β可以变为角-β，所以α-（-β）=α+β〔也有的会根据加减运算关系直接把和角α+β化成差角α-（-β）的形式〕.这时教师适时引导学生转移到公式C（α-β）上来,这样就很自然地得到
cos（α+β）=cos［α-（-β）］=cosαcos（-β）+sinαsin（-β）=cosαcosβ-sinαsinβ.
所以有如下公式：
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作C（α+β）.
对问题②，教师引导学生细心观察公式C（α+β）的结构特征,可知“两角和的余弦，等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积”，同时让学生对比公式C（α-β）进行记忆，并填空：
cos75°
=cos（_________）==__________=___________.
对问题③，上面学生推得了两角和与差的余弦公式，教师引导学生观察思考，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？
我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？
学生可能有的想到利用诱导公式⑸⑹来化余弦为正弦（也有的会想到利用同角的平方和关系式sin2α+cos2α=1来互化，此法让学生课下进行）,因此有
sin（α+β）=cos［-（α+β）］=cos［（-α）-β］
=cos（-α）cosβ+sin（-α）sinβ
=sinαcosβ+cosαsinβ.
在上述公式中,β用-β代之，则
sin（α-β）=sin［α+（-β）］=sinαcos（-β）+cosαsin（-β）=sinαcosβ-cosαsinβ.
因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S（α+β）、S（α-β）.
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ,
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ.
对问题④⑤，教师引导学生观察公式的结构特征并结合推导过程进行记忆，同时进一步体会本节公式的探究过程及公式变化特点，体验三角公式的这种简洁美、对称美.为强化记忆，教师可让学生填空,如sin（θ+φ）=___________，sin=_____.
对问题⑥，教师引导学生思考，在我们推出了公式C（α-β）、C（α+β）、S（α+β）、S（α-β）后,自然想到两角和与差的正切公式，怎么样来推导出tan（α-β）=?
tan（α+β）=?
呢？
学生很容易想到利用同角三角函数关系式，化弦为切得到.在学生探究推导时很可能想不到讨论，这时教师不要直接提醒，让学生自己悟出来.
当cos（α+β）≠0时，tan（α+β）=
如果cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0时,分子、分母同除以cosαcosβ得
tan（α+β）=，据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用-β代之，则有
tan（α-β）=
由此推得两角和、差的正切公式，简记为T（α-β）、T（α+β）.
tan（α+β）=
tan（α-β）=
对问题⑥,让学生自己联想思考，两角和与差的正切公式中α、β、α±
β的取值是任意的吗？
学生回顾自己的公式探究过程可知，α、β、α±
β都不能等于+kπ（k∈Z），并引导学生分析公式结构特征，加深公式记忆.
对问题⑦⑧，教师与学生一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得C（α+β）、S（α+β）、T（α+β）叫和角公式；
S（α-β）、C（α-β）、T（α-β）叫差角公式.并由学生归纳总结以上六个公式的推导
过程，从而得出以下逻辑联系图.可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意：
不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式
tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanαtanβ），tanα-tanβ=tan（α-β）（1+tanαtanβ），在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美.对于两角和与差的正切公式，当tanα，tanβ或tan（α±
β）的值不存在时，不能使用T（α±
β）处理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：
化简tan（-β），因为tan的值不存在，所以改用诱导公式tan（-β）=来处理等.
应用示例
例1
已知sinα=,α是第四象限角，求sin（-α）,cos（+α）,tan（-α）的值.
教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求.再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等.例如本题中，要先求出cosα,tanα的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成.
解：
由sinα=,α是第四象限角，得cosα=.
∴tanα==.
于是有sin（-α）=sincosα-cossinα=
cos（+α）=coscosα-sinsinα=
tan（α-）===.
点评：
本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯.
变式训练1
1.不查表求cos75°
tan105°
的值.
=cos（45°
+30°
）=cos45°
cos30°
-sin45°
sin30°
=,
tan105°
=tan（60°
+45°
）=
=-（2+）.
2.设α∈（0,）,若sinα=,则2sin（α+）等于（
）
A.
B.
C.
D.4
答案：
A
例2
已知sinα=,α∈（,π）,cosβ=,β∈（π,），求sin（α-β）,cos（α+β）,tan（α+β）．
教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系.根据公式S（α-β）、C（α+β）、T（α+β）应先求出cosα、sinβ、tanα、tanβ的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号.
由sinα=,α∈（,π）,得
cosα==-=，∴tanα=.
又由cosβ=,β∈（π,）.
sinβ==,
∴tanβ=.∴sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ
=×
（）-（.
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=（）×
（）-×
（）
=
∴tan（α+β）==.
本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.
变式训练2
引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识.
设电视发射塔高CD=x米，∠CAB=α，则sinα=，
在Rt△ABD中，tan（45°
+α）=tanα.
于是x=,
又∵sinα=,α∈（0,）,∴cosα≈,tanα≈.
tan（45°
+α）==3,
∴x=-30=150（米）.
答：
这座电视发射塔的高度约为150米.
例3
在△ABC中，sinA=（0°
<
A<
45°
）,cosB=（45°
B<
90°
），求sinC与cosC的值.
本题是解三角形问题，在必修5中还作专门的探究，这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题，难度不大，但应是学生必须熟练掌握的.同时也能加强学生的应用意识，提高学生分析问题和解决问题的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决，对有困难的学生教师
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