柳卡图解行程问题复习过程.docx

柳卡图解行程问题复习过程.docx

《柳卡图解行程问题复习过程.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《柳卡图解行程问题复习过程.docx（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

柳卡图解行程问题复习过程

数学竞赛讲义之行程问题

多车相遇

例72、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，自隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟，有一个人从乙站出发沿着电车线路骑车前往甲站。

他出发的时侯，恰好有一辆电车到达乙站。

在路上他又遇到到了10辆迎面开来的电车，到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出。

问他从乙站到甲站用了多少分钟？

解：

一辆车走完全程需要15分钟，所以一辆车刚发出时，途中有

15÷3-1=2辆车。

所以当人骑车出发时，而甲站车时，在中途有两辆车子，可以相遇，所以共相遇10辆车，于是又发车8辆相遇，恰到达时，又发车，于是发车9辆时，甲到达，即有8个时间间隔，时间为5×8=40分钟。

所以骑车行完全程的时间为40分钟。

例73、某人沿电车路线行走，每隔12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来。

假设两个起点站的发车间隔是相同的。

求这个发车间隔。

解：

因为两辆电车的间隔目相等，两次相遇期间，共走了[（行人+电车）×4]，所以两辆电车的间隔为[（行人+电车）×4]，于是两辆车间隔时间为。

两次追及期间，共行走[电车×12]，行人行走了[行人×12]，所以电车行走了[（电车-行人）×12],两辆电车的间隔为[（电车-行人）×12],于是两辆车的间隔时间为。

于是有，所以3×（电车-行人）=电车+行人，即有：

电车=2×行人。

所以分钟。

例74、从电车总站每隔一定时间开出辆电车，甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上一辆迎面开来的电车，那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？

假设甲、乙、电车共同相遇在A点，甲、电车下一次相遇在C点，乙、电车相遇在B点。

则B距A点距离为BA=米

C距A点距离为CA=82×10=820米

所以BC两点相距的路程需电车10分钟15秒-10分钟=15秒=分

路程为820–615=205米

于是，电车的速度和为米/分

于是，当10分钟前与甲、乙相遇的电车离甲（820+82）×10=9020米远。

两电车间隔为9020米。

所车间隔为9020÷820=11分钟。

柳卡问题：

这是一个著名的数学问题，由法国数学家柳卡在19世纪一次数学大会上提出：

每天中午有一艘轮船从法国巴黎的勒阿弗尔开往美国纽约，且每天同一时间也有一艘轮船从纽约开往勒阿弗尔。

轮船在途中需要7天7夜。

假定所有轮船都以同一速度、同一航线行驶。

问某艘勒阿弗尔开出的轮船，在到达纽约时，能遇到几艘从纽约开来的轮船？

后来，一位数学家画出了“路程图”（运程图），才得以解决。

中途13艘，首尾2艘，共15艘。

从图上可以看山，在某轮船开出的前7天，纽约港已有7艘轮船驶入航程，加上当天的一艘，共计8艘。

之后，纽约港每天还有1艘轮船驶入航程，共计7艘。

这样从勒阿弗尔港驶出的轮船在整个运行过程中，将要和本公司的15艘轮船相遇。

从图上看，当中一列（蓝色〉共有16行相交，除去勒阿弗尔港当天自己开出得一列（红色），相交数也是15。

例75、一条双向铁路上有11个车站。

相邻两站都相距7千米，从早晨7时开始，有18列货车由第11站顺次发出，每隔5分钟发出一列，都驶向第一站，速度都为每小时60千米。

早晨8时，由第1站发出一列客车，向第11站驶去，时速是100千米，在到达终点站前，货车与客车都不停靠任何一个站，问在哪两个相邻站之间，货车能与3列客车先后相遇？

图像法：

画出示意图，利用示意图求解，但是要求图像一定的精确度。

所以，一般采用图像法与分析法结合使用，对有可能的情况进行分析。

由上图可知，客车在5、6两站遇见三辆客车。

分析法：

客车从一个站到下一个站所需的时间为分钟

所以客车到第一站的时间为

第一站8时0分第二站8时分第三站8时分

第四站8时分…………第十一站8时42分

而客车出发时，第一辆货车距它千米

所以客车与第一辆车相遇为8时分

相邻两货车相距为千米

所以，客车经过两辆货车的时间间隔为分钟

则客车与18辆货车相遇时间顺次为

第一辆：

8时分，即8时分

第二辆：

，即8时分

第三站：

，即8时分

第四站：

，即8时分

第五辆：

，即8时分

……

所以，客车在8时分到达第五站，8时21分到达第六站。

在此期间，它于8时……，8时……，8时分三次与货车相遇。

所以在第5、6两站之间，客车与货车三次相遇。

例76、长途汽车有甲、乙两个终点站，汽车要用4小时才能驶完全程。

从上午6点开始，每隔1时从甲、乙两站同时发出一辆公共汽车，最后一班车在下午4点发出。

问从甲站发车的汽车司机最多能看到几辆迎面驶来的公共汽车？

最少能看到到几辆？

解：

最多9辆，最少5辆

例77、由A、B、C、D、E五名小学生进行马拉松比赛。

不管前半程怎样，当他们从折返点返回跑后半程时，每人的速度都是固定不变的。

他们三位朋友X、Y、Z分别在不同时间给五个人拍了一张纪念照。

最先拍的是X，然后是Y，最后按快门的是Z。

照片洗出后他们分别这样说:

X：

“我是在他们返回跑了10分钟后照的，当时五人的顺序是B、E、C、A、D，而且他们的间隔相等，都是30m”。

Z：

“我是在他们返回跑了30分钟后照的，当时五人的顺序是A、B、C、D、E，而且他们的间隔相等，都是20m”。

Y：

“我是什么时侯照的，自己也没记住，不过我照的时候他们的间隔也相等。

”

问：

Y是在他们返回跑了几分钟时照的？

解：

先用图表示5个人的顺序变化。

从上图可以看出，A、C、E经常处于间隔相同的状态，当A正好在B和C中间时，E也正好在C和D的正中间，因此5人中的间隔是相同的。

为便于分析这个时间，在两侧B和C的正中间画上一条线来表示，如右图当此线和A线相交时，A就在B和C的正中间，所以可以求出这个时刻。

这时，图中的两个阴影部分的三角形是相似三角形。

因此，两个三角形的对应边的比（相似比）是30:

60=1:

2，所以m：

n=1:

2。

5人的间隔相同，，即6分40秒

也就是说，Y在他们返回来回跑了16分40秒后照的。

【巩固练习】某人沿着电车道旁的便道以4.5千米/小时的速度步行，每7.2分钟有一辆电车迎面开过，每12分钟有一辆电车从后面追过。

如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行，那么电车的速度是多少？

电车之间的时间间隔是多少？

优化设计

★例78、甲乙两班学生到离校24千米的飞机场参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生。

为了尽快到达飞机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某地下车后步行去飞机场，汽车则从某地立即返回接在途中步行的乙班学生，如果甲乙两班学生步行速度相同，汽车速度是他们步行速度的7倍，那么汽车应在距飞机场多少千米处返回接乙班学生，才能使两班同时到达飞机场？

假设甲坐车时间为“1”，甲班行驶了1×7速度时，乙班行驶了1×1速度时，然后甲下车，汽车往回行驶，于是汽车与乙相遇，他们的路程差为7-1=6速度时，速度和8速度时，所需时间为时，于是乙步行时，换车；甲坐车1时，步行。

因为甲乙速度一样，同时到达，所以甲、乙坐车、步行时间一样，于是甲乙坐车1时，甲乙步行时间1.75时。

所以，坐车与步行路程比为

于是步行路程为千米

所以汽车停在距机场4.8千米处。

例79、甲班与乙班学生同时从学校出发去某公园，甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米。

学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生，为了使两班学生在最短时间内到达公园，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是多少？

解：

为了使两班最短时间到达，汽车从一班换车地点至另一班换车地点时间尽量减小，所以先让速度快得甲班先走，这样乙班换车地点与甲班行至地点距离小，就节省了时间。

假设甲班先行走时间为“1”，则甲班行程4，乙班因为坐车行程48。

现在行程差为48-4=44，乙班下车，甲班坐车，但车、甲行程差为44。

车、甲速度和为4+48=52，于是需时，车、甲相遇。

此时，甲行走，乙行走。

所以，甲乙行程差为

乙、车速度差为48-3=45，车追上乙时间为，于是乙行走了，甲行走了，所以他们的步行距离比为：

所以甲乙两班步行的距离比为15:

11

方法二：

甲班步行走了AC，汽车载着乙班从A出发；当汽车到达D时，放下乙班步行，返回到C与甲班相遇。

最后，汽车载着甲班与步行的乙班同时到达B。

在汽车与甲班在C相遇之间，甲班走了AC，汽车走了AD+DC。

由于在这一过程中，车和甲班始终在走，所以路程比等于速度比，即

因此，，

由此，

例80、甲乙两地相距35千米，小张、小李都要从甲地去乙地，他们只有一辆自行车，小张先步行，小李先骑车，同时出发。

小张步行的速度是每小时5千米，小李步行的速度是每小时4千米。

两人骑车的速度都是每小时20千米。

那么两人从甲地到乙地最短需要多少小时？

解：

小李骑车到达甲乙之间的丙地，改为步行，小张到丙地后骑车，两人同时到达乙地。

此时两人到达乙地需要时间最少。

方法一方程法设甲丙距离为x，则小李需要时间，小张需要时间

因为同时出发，同时到达，所以小李、小张所需时间相等。

于是，，所以千米

于是所需时间为小时，即4小时45分钟。

方法二比例法求出甲丙：

丙乙的路程比。

知道骑车“1”距离时间为，小李步行“1”距离时间为，小张步行“1”距离时间为。

小李因走路程“1”耽搁的时间与小张因走路程“1”耽搁的时间之比为，因为所需时间相等，所以路程比为3:

4。

因为小李与小张的步行、骑车距离正好相反，所以小李步行路程为千米，所以甲丙路程为35-15=20千米。

小李步行时间为小时，即4小时45分钟。

例81、一条环形道路，周长为2千米，甲、乙、丙3人从同一点同时出发，每人环行2周。

现有自行车2辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑。

已知甲步行的速度为每小时5千米，乙和丙步行的速度是每小时4千米，3人骑车的速度都是每小时20千米。

请你设计一种走法，使3个人2辆车同时到达终点。

那么环行2周最少要用多少分钟？

解：

求出甲乙步行的路程比。

假设甲乙均始终骑车，则甲乙同时到达。

在一个单位路程“1”内，甲乙骑车所用时间：

，甲步行所用时间：

，乙步行所用时间：

现在因步行耽搁的时间比为：

，于是步行的距离比应为耽搁时间的倒数比，即4:

3。

又因为乙、丙速度相同，所以步行距离相等。

于是甲乙丙步行距离比为：

甲：

乙：

丙=4:

3:

3。

因为有3人2辆自行车，所以始终有人在步行，一圈的距离等于甲乙丙步行距离和。

（注意到车子放在一周的不同地方，所以总有一人从一停车处走到另一停车处）。

于是甲步行的距离为？

千米。

于是骑车距离为2×2-0.8=3.2千米；所以甲需要时间为？

=0.32小时。

即0.32×60=19.2分钟。

环形两周的最短时间为19.2千米。

例82、下图为某邮递员负责的邮区街道图，图中交叉点为邮户，每个小长方形的长为180米，宽为150米。

如果邮递员每分钟行200米，在每个邮户停留半分钟，那么从邮局出发走遍所以邮户，再回到邮局，最少要用多少分钟？

解：

此题的关键是求出最佳路径，显然不满足一笔画，我们也要走到个个交点。

观察上图，前两种路线有重复部分，而第三个路线比第四个路线长。

所以第四种路线最短。

至少要走3900米，有6×4-1=23个邮户。

所以需3900÷200+（6×4-1）×0.5=19.5+11.5=31分钟。

例83、有一个沙漠地带，汽车每天行驶200千米，每辆汽车载运可行驶24天的汽油。

现有甲、乙两辆汽车同时从某地出发，并在完成任务后，沿原路返回。

为了让甲车尽可能开出更远的距离，乙车在行驶一段路程后，仅留下自己返回出发