数学命题与创意-A(北京数学基础班)---陶平生Word格式.doc

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且对任何，都有

；

、求；

、求数列的通项．

该题命制方法是：

事先想好一个数列，例如，然后对其操作变形折腾，使其适当复杂化：

由，此式两边平方，得，两边同除以交叉项，得到，注意，

得，即：

，

再将作局部显示，得到：

．

为使形式对称，改写成，为了锁定，给出初值．

这样就得到了开初的命题形式．

解：

据条件得，，因此在时，有

，即，得．

因为正整数，所以；

当，由，解得，所以；

今由，猜想．以下采用数学归纳法证明，在时已验证，设时已成立，即，则当时，由于

，得，即

…，因为当时，

，则，又据得；

由得到，，所以，即当时结论也成立，从而对一切正整数，有．

例：

正整数数列满足：

计算．

这是为年江西高考压轴题准备的难度提升题，后未采用，于是改为数学竞赛的预赛试题，此题的命制方法与上题类似，只是数列略为复杂些：

事先给定数列：

，则有：

这时，

．显然有，为了锁定数列，给出，

就得到本题的表示形式．

解：

先求通项，时，条件化为，

…

此条件蕴含，即有，由式两端分别得到，

……，……

据，，即，因此，

或…

……，据，得

当时，式化为，则，故有

，即，所以．

注意到，

今证明，一般有……

此式对于已成立，设对于成立，考虑情形，

据，，

即，

也即

所以．

即

也即．由此，

所以，．因为整数，则

，故由归纳法，式对于任何正整数皆成立，即．

再计算：

注意，所以，

二、意料之外，情理之中

对于高考试题而言，既要受考试大纲约束，又要受教材约束，并需顾及当年考生实际情况，同时还需回避每年出现在各地的大量考试试题、以及资料题海；

要让猜题、押题者感到“只在此山中，云深不知处”，使得试题能够真正考出学生的实际能力，命题时确实具有相当大的难度．

我们知道，三个数成等差数列，其定义是，但在课堂上，要给学生就事论事地复习或练习这种问题，相信谁都不会重视；

但是，被认为最不可能出题的地方，往往会成为命题人感到最为保险的地方；

如果我们将换成，则“没戏”的地方便立即变成了“有戏”．

（年江西高考数学试题）证明以下命题：

、对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列；

、存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数，且成等差数列．

证明：

、易知成等差数列，故也成等差数列，

所以对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列．

【评注】：

第一问本来是用于“送分”的，有点像“脑筋急转弯”，用此考一下学生的“灵气”，但实际上考生多数舍近求远，在考场上却偏不会往此处考虑，成功者竟低于百分之一，考完之后便悔之无及，正所谓“早知灯是火，饭熟已多时”；

至于第二问，编题者是借助“不相似的三角形”来掩盖第一问中的“成比例”思想．

、若成等差数列，则有，

即……①，下面采用构造法，

选取关于的一个多项式，例如，使得它可按两种方式分解因式，

由于

因此令，可得…②

易验证满足①，因此成等差数列，

当时，有且，因此以为边可以构成三角形．其次，任取正整数，假若三角形与相似，则有：

，据比例性质有：

所以，由此可得，与假设矛盾．

即任两个三角形与互不相似，所以，存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列．

读罢“三国”，我们或许会对“千古一计”的“空城计”之泡制者感到由衷的敬佩，那个以“一生唯谨慎”为处世之本的卧龙诸葛，竟然会产生出这样的奇思妙想和大胆决策！

其实，他的帷幄运筹，原于对信息及对手的深度把握与精准判断．其基本立意所采用的就是“意料之外”！

然而，这种命题构思往往是不能重复使用的，一旦变为陈题，就将处于被动．

试想，如果把成等差数列的问题简单地改成“成等差数列”之类的问题，那还算什么创新？

命题人只有时刻关心事物的内在联系，才能不断创造出新的意境，

问渠那得清如许？

为有源头活水来．

（年江西高考）数列满足：

，，

、求的通项公式；

、证明：

对于每个正整数，．

讲解：

本题采用“集装箱”方法，即“数据打包”，其命题过程是：

事先给出一个等比数列：

，然后适当选取，，即有，转换还原后化为．这就成为本题的题干．

解一、变形条件为：

，因此，为一个等比数列，其首项为，公比也是，从而，则，…①

所以，…②

为证，即要证，…③

加强命题，先证，对每个，都有…④

对归纳，时，有；

设时④式成立，即

，则当时，

即时④式也成立，故④式对于每个正整数都成立．因此③式成立，结论得证．

解二、单墫教授后来又为此题提供了一个解法：

变形条件式为，令，则，，此式可化为，所以是公比为，首项为的等比数列．

从而，，

为证，只需证，由伯努利不等式，

，故结论得证．

例、（中等数学）将小于的九个互异正整数分别填入一个的方格表中，

使得表格的每行三数、每列三数都成为勾股数组，你的填法是：

（本题也是一道考查灵感的问题，如果不能看出问题的结构，而是依靠“拼凑”去做，那么完成这一道小题将会耗去很多时间，甚至徒劳无功．）

本题答案是：

任取两个不同的勾股数组与，则在表中，每行、每列的三数也都是勾股数组；

这是由于，若，可得；

例如取与，得到一种填法：

若取与，得到另一种填法：

（因勾股数有无穷多组，故不同的填法也有无穷多，

而所列出的两种情况是各元素均小于的填法）．

美国作家马克·

吐温有一篇著名小说《百万英镑》，并被拍成电影，讲述了一个美国穷小子亨利·

亚当斯在伦敦的一次奇遇。

伦敦的两位富翁打赌，把一张无法兑现的百万大钞借给亨利，看他在一个月内如何收场。

一个月的期限到了，亨利不仅没有饿死或被捕，反倒成了富翁，并且赢得了一位漂亮小姐的爱情。

影片以其略带夸张的艺术手法再现大师小说中讽刺与幽默，揭露了20世纪初英国社会的拜金主义。

这就是意料之外，情理之中．

三、旁敲侧击暗度陈仓

“质数”本来是极不规则的，借此出题，往往不易成功；

然而“规则”与“不规则”往往只是一墙之隔，山重水复疑无路，柳暗花明又一村；

下面是年东南赛的一道试题，在编拟时采取了“傍”的策略．

例、（年东南赛试题）试求满足下列条件的三元数组：

、为质数；

、组成等比数列．

据条件，…①，设，其中不含大于的平方因子，则必有，这是由于，据①，…②，则

，设，于是②化为，…③，若，则有质数，即，因皆不含大于的平方因子，因此，．设

，则③化为，…④，若仍有，则又有质数，即，因皆不含大于的平方因子，则，，设

，则④化为，，……，如此下去，因③式中的质因子个数有限，故有，使，而从得，，从而

，改记，则有，⑤

其中，…⑥，无大于的平方因子，并且，否则若，则，因大于第三个质数，即，，得

为合数，矛盾．因此或为质数，或为若干个互异质数之乘积，（即大于，且无大于的平方因子）．我们将其简称为“具有性质”．

、据⑥，．当，则，有，因，得，若，则且，得为合数；

若，在为偶数时，具有性质的有，分别给出不为质数；

为奇数时，具有性质的值有，分别给出的皆不为质数；

若，具有性质的值有，当时，给出解；

当时，给出解

时，分别给出的皆不为质数；

若，则或．在时，，因质数，得，

具有性质的值有，在为奇数时，给出皆为合数；

在

时，给出为合数；

时，给出解；

在时，，，具有性质的值有．在为奇数时，给出的皆为合数；

和时，给出的不为质数；

、时，由，得，具有性质的值有．

在时，为合数；

时，，因，则可取，分别得到至少一个不为质数；

时，，，因，在时给出的为合数；

时给出解；

时，，，，只有在时给出解

、时，，具有性质的值有，分别给出的皆为合数；

、时，，具有性质的值只有得，这时，

，，只有在时给出解；

在时给出解；

、时，，具有性质的值只有得，而

、时，，具有性质的值不存在．

因此，满足条件的解共有组，即为上述的．

例、数列：

，；

，皆可表为两个正整数的平方和．

【评注】第届有这样的一道预选题：

整数数列定义如下：

，为奇数．

这是一个很有意思的问题，其证明要点是找出数列的递推关系：

从而得到时，为奇数；

重新回味此题，总觉得命题人摆出了这么大的排场，却只收获到如此简单的一个结果，似乎有些可惜，有点“种瓜得豆”的感觉．

继续挖掘这个数列，发现还有许多有趣的性质，于是命制了上述一道新题．

证:

由条件易得，，……，

我们注意到,,而；

，而；

而；

……，据此猜测，对每个正整数，都有：

…①

为证①，我们还需给出一个关于的递推关系：

…②

今证①与②：

对大于的归纳，时皆已验证，设①与②对于成立，则对于，由①、②以及，有

……③

…④

因此，①与②对于也成立；

故由归纳法，对每个正整数，①与②皆成立．

且①式表明，为两个正整数的平方和．

四、联想类比由此及彼

传说中鲁班有一次被一种带钩刺的草划破了手，由此获得灵感，于是便发明了锯子；

如同文学一样，数学创意也是一种深度感情化的东西，需要对此有感情的人才能真实地体味它，感悟它，“中有至人谈寂灭，悟者悲涕迷者手自抿”，“二句三年得，一吟双泪流”，而这就是杜甫所谓“语不惊人死不休”的境界．

我们都会求不定方程的正整数解，如果我们将这一结构隐藏于另一知识点中，就开拓出了新的创意．

例、（高中联赛训练题，中等数学．）

三个内角的正切值皆为整数，如果将彼此相似的三角形只算作是同一种三角形，那么，全部合符条件的三角形的共有几种？

设，为非零整数，且其中至多有一个负数；

由恒等式得

即…①，以及…②

若其中有负整数，设，则为正整数，由①，

，于是，得，矛盾．所以皆为正整数，且其中必有一个等于，否则若皆，则由②，，

又得矛盾．设，则，由①，，，得

，即全部情况只有．因此这种三角形只有一种．

我们知道，在三角形中，如果是的中点，

过分别作直线与中线平行，则三条平行线中，每相邻的两条等距；

并且，按照所取中线的不同，这种平行线组有三种情况；

又若为边长为的正三角形，那么三种情形下，相邻平行线间距离都是．反之，如果事先给出相邻平行线间的距离，那么，正三角形的边长与面积便