线性代数知识点总结Word格式文档下载.docx

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余子式 在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作。

代数余子式 ，叫做元素的代数余子式。

引理 一个阶行列式，如果其中第行所有元素除（i，j）元外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即。

（高阶行列式计算首先把行列上的元素尽可能多的化成0，保留一个非零元素，降阶）

定理 阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即，，。

第二章矩阵

1.矩阵

行列式是数值，矩阵是数表，各个元素组成

方阵：

行数与列数都等于n的矩阵A。

记作：

An。

行（列）矩阵：

只有一行（列）的矩阵。

也称行（列）向量。

同型矩阵：

两矩阵的行数相等，列数也相等。

相等矩阵：

AB同型,且对应元素相等。

记作：

A＝B

零矩阵：

元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同）

对角阵：

不在主对角线上的元素都是零。

单位阵：

主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：

E

注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。

2. 矩阵的运算

矩阵的加法

说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。

矩阵加法的运算规律

；

，称为矩阵的

。

数与矩阵相乘

数乘矩阵的运算规律（设为矩阵，为数）

矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。

矩阵与矩阵相乘 设是一个矩阵，是一个矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个矩阵，其中，，并把此乘积记作

注意

1。

A与B能相乘的条件是：

A的列数＝B的行数。

2。

矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，，而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。

3。

对于n阶方阵A和B，若AB=BA，则称A与B是可交换的。

矩阵乘法的运算规律

，

若A是n阶方阵，则称Ak为A的k次幂，即，并且，。

规定：

A0＝E（只有方阵才有幂运算）

注意　矩阵不满足交换律，即，（但也有例外）

转置矩阵 把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作，

方阵的行列式 由阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作

注意 矩阵与行列式是两个不同的概念，n阶矩阵是n2个数按一定方式排成的数表，而n阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。

对称阵 设A为n阶方阵，如果满足A=AT，那么A称为对称阵。

伴随矩阵 行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵称为矩阵A的伴随矩阵。

性质 （易忘知识点）

总结

（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。

（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律。

（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。

逆矩阵：

AB＝BA＝E，则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵。

说明

1A，B互为逆阵，A=B-1

2只对方阵定义逆阵。

（只有方阵才有逆矩阵）

3.若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的。

定理1 矩阵A可逆的充分必要条件是，并且当A可逆时，有（重要）奇异矩阵与非奇异矩阵 当时，称为奇异矩阵，当时，称为非奇异矩阵。

即。

求逆矩阵方法

初等变换的应用：

求逆矩阵：

逆矩阵的运算性质

3.矩阵的初等变换

初等行（列）变换

初等列变换：

把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r”换成“c”。

矩阵等价

行阶梯形矩阵：

可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。

（非零行数及矩阵的秩）

R（B）=3

行最简形矩阵：

行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0.

标准型：

对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如的矩阵，称为标准型。

标准形矩阵是所有与矩阵A等价的矩阵中形状最简单的矩阵。

初等变换的应用

或。

4. 矩阵的秩

矩阵的秩 任何矩阵，总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的。

（非零行的行数即为矩阵的秩）

1.矩阵Am×

n，则R（A）≤min{m,n};

2.R（A）=R（AT）;

3.R（A）≥r的充分必要条件是至少有一个r阶子式不为零;

4.R（A）≤r的充分必要条件是所有r+1阶子式都为零.

满秩和满秩矩阵 矩阵，若，称A为行满秩矩阵；

若，称A为列满秩矩阵；

矩阵秩的求法

定理1矩阵A经过有限次行（列）初等变换后其秩不变。

即若A～B，则R（A）=R（B）。

推论

矩阵秩的性质总结

第三章

1.n维向量 n个数a1,a2,…,an组成的一个有序数组（a1,a2,…,an）称为一个n维向量,记为，其中第i个数ai称为向量的第i个分量。

向量组 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。

设矩阵A=（aij）m×

n有n个m维列向量，即，。

同理，也可说矩阵A有m个行向量组组成。

向量，向量组，矩阵与方程组的关系

向量组矩阵：

向量方程方程组：

可简写作

向量方程方程组矩阵形式

线性组合 给定向量组和向量b，如果存在一组数使，则向量b是向量组A的线性组合，这时称b向量能由向量组A线性表示。

定理1 向量b能由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩。

即R（A）=R（A,b）。

向量组的线性表示 设有两个向量组，若B组中每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示，若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价。

向量组的线性相关 给定向量组，如果存在不全为零的数使，则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关；

若当且仅当时上式成立，则称向量组A线性无关。

线性相关：

可线性组合表示的，线性无关：

相互独立，互不代表

注意

1.对于向量组来说，不是线性无关，就是线性相关。

2.对于两个向量来说，线性相关意味着两向量的分量对应成比例，几何含义两向量共线；

三个向量线性相关意味着三向量共面。

4.包含零向量的任何向量组是线性相关的，此时总存在不为零的k，使得

线性相关性的判定

定理　向量组（当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示

定理4 向量组线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵小于向量的个数m，向量组线性无关的充分必要条件是R（A）=m。

最大线性无关向量组 设有向量组A，如果在A中能选出r个向量，满足：

（2）向量组A中任意r+1个向量（如果有的话）都线性相关；

则称向量组是向量组A的一个最大线性无关向量组。

（2）*向量组A中任何一个（其它）向量可由线性表示。

第四章线性方程组的解

线性方程组如果有解，则称其为相容的，否则称为不相容的。

n元齐次线性方程组Ax=0

（1）R（A）=nAx=0有唯一解，零解（无非零解）

（2）R（A）<

nAx=0有非零解.

n元非齐次线性方程组

（1）无解的充分必要条件是

（2）有唯一解的充分必要条件是

（3）有无限多解的充分必要条件是

基础解系 齐次线性方程组的通解具有形式（c1,c2为任意常数），称通解式中向量构成该齐次线性方程组的基础解系。

非齐次线性方程组解的通解具有形式（c1,c2为任意常数），不带参数部分是非齐次方程组的一个特解；

带参数部分的两个向量构成对应齐次方程的基础解系。

齐次方程组解的性质、结构

非齐次方程组解的性质

解的系数和为1是非齐次方程的解，为0是齐次方程的解。

线性方程组的解法

齐次线性方程组：

将系数矩阵A化成行阶梯形矩阵，判断是否有非零解.若有非零解，化成行最简形矩阵，写出其解；

非齐次线性方程组：

将增广矩阵B=（A,b）化成行阶梯形矩阵，判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，写出其解；

第五章矩阵的相似

第六章二次型

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