数值分析习题(含答案)Word文档下载推荐.doc
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欲使，必须。
8设，求证：
（1）
（2）利用
（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；
反向递推计算时误差逐步减小。
（计算方法的比较选择）
如果初始误差为，若是向前递推，有
可见，初始误差的绝对值被逐步地扩大了。
如果是向后递推，其误差为
可见，初始误差的绝对值被逐步减少了。
第二章插值法
拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。
1已知，求的拉氏插值多项式。
（拉格朗日插值）
解法一（待定系数法）：
设，由插值条件，有
解得：
。
故。
解法二（基函数法）：
由插值条件，有
2已知，用线性插值求的近似值。
（拉格朗日线性插值）
由插值节点与被插函数，可知，，，其线性插值函数为
的近似值为。
3若为互异节点，且有
试证明。
（拉格朗日插值基函数的性质）
考虑辅助函数，其中，，。
是次数不超过的多项式，在节点（）处，有
这表明，有n+1个互异实根。
故，从而对于任意的均成立。
4已知，用抛物线插值计算的值并估计截断误差。
（拉格朗日二次插值）
由插值条件，其抛物线插值函数为
将代入，计算可得：
其余项为：
其中，
故误差的上界为：
5用余弦函数在，，三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值多项式,并近似计算及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。
由插值条件，二次拉格朗日插值多项式为
绝对误差为：
相对误差为：
余项为：
，其中，
其余项的上界为：
比较可知，实际计算所得的绝对误差较余项公式所估计出的值要小一些。
6已知函数值，求函数的四阶均差和二阶均差。
（均差的计算）
采用列表法来计算各阶均差，有
x
y
一阶均差
二阶均差
三阶均差
四阶均差
6
1
10
4
3
46
18
14/3
82
36
1/3
212
65
29/3
11/15
1/15
从表中可查得：
72/3
故。
其实，根据均差的对称性，，该值在第一个表中就可以查到。
7设求之值，其中，而节点互异。
由均差可以表示成为函数值的线性组合，有
而，故。
8如下函数值表
2
9
23
建立不超过三次的牛顿插值多项式。
（牛顿插值多项式的构造）
先构造均差表
f（x）
8
14
-10
-8
-11/4
9求一个次数小于等于三次多项式，满足如下插值条件：
，，，。
（插值多项式的构造）
设，则
，由插值条件，有
故
解法二（带重节点的均差法）：
据插值条件，造差商表
一阶差商
二阶差商
三阶差商
12
5
10构造一个三次多项式，使它满足条件（埃尔米特插值）。
设，
利用插值条件，有
11设。
（1）试求在上的三次埃尔米特插值多项式，使得，以升幂形式给出。
（2）写出余项的表达式。
（埃尔米特插值及其余项的计算）。
，，，，
，其中，。
12若，试证明：
（插值余项的应用）
以为插值条件，作线性插值多项式，有
其余项为
13设求使；
又设，则估计余项的大小。
（插值误差的估计）
从而
第三章函数逼近
最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。
1设，求于上的线性最佳平方逼近多项式。
（最佳平方逼近）
，，
法方程组为
线性最佳平方逼近多项式为：
2令，且设,求使得为于上的最佳平方逼近多项式。
3证明：
切比雪夫多项式序列
在区间上带权正交。
（正交多项式的证明）
对于，有
故，序列在[-1，1]上带权正交。
4求矛盾方程组：
的最小二乘解。
（最小二乘法）
解法一：
求与，使得
达到最小。
于是，令
即：
，其最小二乘解为：
解法二：
，记作，该矛盾方程组的最小二乘解，应满足以下方程组
，即
解之，得。
5已知一组试验数据
2.5
5.5
4.5
8.5
试用直线拟合这组数据.（计算过程保留3位小数）。
（最小二乘线性逼近）
作矩阵
法方程为
即
，。
其直线拟合函数为。
6用最小二乘原理求一个形如的经验公式,使与下列数据相拟合.
19
25
31
38
44
32.3
49
73.3
97.8
（最小二乘二次逼近）
等价于对数据表
361
625
961
1444
1936
作线性拟合。
其法方程组为：
故经验公式为。
第四章数值积分
代数精度的计算，构造插值型求积公式（梯形，辛甫生公式），复化求积的计算，高斯公式的构造。
1给定求积公式试确定使它的代数精度尽可能高。
（代数精度的应用和计算）
分别取，使上述数值积分公式准确成立，有；
故求积公式为。
再取，左边=，右边=
此求积公式的最高代数精度为3。
2求积公式，试确定系数,及，使该求积公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。
分别取，使求积公式准确成立，有
求积公式为。
再取，左边=右边
故该求积公式的最高代数精度为2。
3数值积分公式，是否为插值型求积公式，为什么？
又该公式的代数精确度为多少？
（插值型求积公式特征）
令，
故代数精度为1。
由于求积节点个数为2，代数精度达到1次，故它是插值型的求积公式。
4如果，证明用梯形公式计算积分所得到的结果比准确值大，并说明其几何意义。
（梯形求积）
梯形求积公式
是由过点，的线性插值函数
在[a,b]上的定积分。
注意到：
在区间[a,b]上，，而，有
从而。
其几何意义可作以下解释：
在区间[a,b]上，，故曲线下凹，直线位于曲线之上，因此，曲边梯形的面积小于梯形面积。
5用的复化梯形公式计算积分，并估计误差。
（复化梯形求积）
，取求积节点为
因，则误差大约为：
6设,则用复化辛甫生公式计算，若有常数使，则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。
（复化辛甫生公式）
7已知高斯求积公式将区间[0,1]二等分，用复化高斯求积法求定积分的近似值。
（高斯公式）
对于作变量换，有
8试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。
试问所得的数值积分公式代数精度是多少？
它是否为高斯型的？
（代数精度的应用和计算，高斯点的特征）
整理得：
数值求积公式为
可见，该数值求积公式的最高代数精度为5。
由于该公式中的节点个数为3，其代数精度达到了次，故它是高斯型的。
9设是[0,1]区间上带权的最高次幂项系数为1的正交多项式系
（1）求。
（2）构造如下的高斯型求积公式。
（高斯求积）
解
（1）：
采用施密特正交化方法，来构造带权且在[0，1]上正交的多项式序列
取，设，且它与在[0，1]上带权正交，于是
设，且它与、在[0，1]上带权正交，于是
解
（2）：
的零点为：
设
分别取，使上述求积公式准确成立，有
高斯型求积公式为
第五章非线性方程求根
二分法、迭代法、牛顿法和弦截法求根，迭代法求根的收敛性和收敛速度的讨论。
1用二分法求方程的正根，要求误差小于0.05。
（二分法）
，，，在[0，2]连续，故[0，2]为函数的有根区间。
（1）计算，故有根区间为[1，2]。
（2）计算，故有根区间为。
（3）计算，故有根区间为。
（4）计算，故有根区间为。
（5）计算，故有根区间为。
（6）计算，故有根区间为。
（7）计算，故有根区间为。
（8）若取中点作为取根的近似值，其误差小于
取近似根，可满足精度要求。
2说明方程在区间[1，2]内有惟一根，并选用适当的迭代法求（精确至3位有效数），并说明所用的迭代格式是收敛的。
（迭代法）
，，，故函数单调增加，因此，该方程在（1，2）之间存在着惟一的实根。
取迭代函数
显然，且
故迭代（）对任意初始值收敛。
对于初值，其迭代值分别为
，，，
由于，故作为近似值，已精确到了3位有效数字。
3设有解方程的迭代法
（1）证明均有（为方程的根）。
（2）此迭代法的收敛阶是多少，证明你的结论。
（3）取用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值。
（和收敛
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