函数及其表示.docx

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函数及其表示

第一节　函数及其表示

1.函数的概念及其表示

（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．

（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数．

2.分段函数及其应用

了解简单的分段函数，并能简单应用．　　　

教材通关

函数的基本概念

（1）函数的定义

一般地，设A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：

A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f（x），x∈A.

（2）函数的定义域、值域

在函数y＝f（x），x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．

（3）函数的三要素是：

定义域、值域和对应关系．

（4）表示函数的常用方法有：

列表法、图象法和解析式法．

（5）分段函数

在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数．

分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

[小题诊断]

1.（优质试题·深圳模拟）函数y＝的定义域为（　　）

A.（－2,1）　　　　　　　B．[－2,1]

C.（0,1）D．（0,1]

解析：

由题意得解得0＜x＜1，故选C.

答案：

C

2.若函数y＝f（x）的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　）

答案：

B

3.f（x）与g（x）表示同一函数的是（　　）

A.f（x）＝与g（x）＝·

B.f（x）＝x与g（x）＝

C.y＝x与y＝（）2

D.f（x）＝与g（x）＝

解析：

选项A，C中的函数定义域不同，选项D中的函数解析式不同，只有选项B正确．

答案：

B

4.已知函数f（x）＝则f[f（3）]＝（　　）

A.B.

C.－D．－3

解析：

由题知f（3）＝1－log23＜0，则f[f（3）]＝f（1－log23）＝21－log23＋1＝.故选A.

答案：

A

5.已知函数f（x）＝若f（2－a）＝1，则f（a）＝（　　）

A.－2B．－1

C.1D．2

解析：

当2－a≥2，即a≤0时，f（2－a）＝22－a－2－1＝1，解得a＝－1，则f（a）＝f（－1）＝－log2[3－（－1）]＝－2；

当2－a＜2，即a＞0时，f（2－a）＝－log2[3－（2－a）]＝1，解得a＝－，舍去．综上，f（a）＝－2.故选A.

答案：

A

◆易错通关◆

1.求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．

2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．

[小题纠偏]

1.设函数f（x）＝若f（a）＋f（－1）＝2，则a＝________.

解析：

若a≥0，则＋1＝2，得a＝1；

若a＜0，则＋1＝2，得a＝－1.

答案：

±1

2.（优质试题·江南十校联考）已知f＝x2＋5x，则f（x）＝________.

解析：

令t＝，∴x＝.∴f（t）＝＋.

∴f（x）＝（x≠0）．

答案：

（x≠0）

授课提示：

对应学生用书第10页

考点一　函数的定义域　自主探究　基础送分考点——自主练透

[题组练通]

1.函数y＝的定义域是（　　）

A.（－1,3）

B.（－1,3]

C.（－1,0）∪（0,3）

D.（－1,0）∪（0,3]

解析：

由题意得⇒－1＜x≤3且x≠0，选D.

答案：

D

2.下列函数中，与函数y＝的定义域相同的函数为（　　）

A.y＝　　　　　　B．y＝

C.y＝xexD．y＝

解析：

函数y＝的定义域为{x|x≠0}；y＝的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}；y＝的定义域为{x|x＞0}；y＝xex的定义域为R；y＝的定义域为{x|x≠0}．故选D.

答案：

D

3.（优质试题·铁岭模拟）已知函数y＝f（x）的定义域为[－1，1]，则函数y＝f（log2x）的定义域是________．

解析：

由函数y＝f（x）的定义域为[－1,1]知－1≤log2x≤1，解得≤x≤2.∴函数y＝f（log2x）的定义域为.

答案：

函数定义域的求解策略

（1）已知函数解析式：

构造使解析式有意义的不等式（组）求解．

（2）实际问题：

由实际意义及使解析式有意义构成的不等式（组）求解．

（3）抽象函数：

①若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，其复合函数f（g（x））的定义域由不等式a≤g（x）≤b求出；

②若已知函数f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在x∈[a，b]时的值域.

考点二　函数解析式的求法　互动探究　重点保分考点——师生共研

[典例]　

（1）已知f＝lgx，求f（x）；

（2）已知f（x）是二次函数，且f（0）＝2，f（x＋1）－f（x）＝x－1，求f（x）；

（3）已知f（x）＋2f＝x（x≠0），求f（x）．

解析：

（1）令＋1＝t，由于x＞0，∴t＞1且x＝，

∴f（t）＝lg，∴f（x）＝lg（x＞1）．

（2）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），由f（0）＝2，得c＝2.

又f（x＋1）－f（x）＝a（x＋1）2＋b（x＋1）－ax2－bx＝x－1，

即2ax＋a＋b＝x－1，∴即

∴f（x）＝x2－x＋2.

（3）∵f（x）＋2f＝x，∴f＋2f（x）＝.

解方程组得f（x）＝－（x≠0）．

[即时应用]

1．（优质试题·郑州模拟）已知函数f（x）的部分图象如图所示，则它的一个可能的解析式为（　　）

A．y＝2

B．y＝4－

C．y＝3x－5

D．y＝

解析：

根据函数图象分析可知，图象过点（1,2），排除C、D，因为函数值不可能等于4，排除A.故选B.

答案：

B

2．（优质试题·定州模拟）下列函数中，满足f（x2）＝[f（x）]2的是（　　）

A．f（x）＝lnx

B．f（x）＝|x＋1|

C．f（x）＝x3

D．f（x）＝ex

解析：

对于函数f（x）＝x3，有f（x2）＝（x2）3＝x6，[f（x）]2＝（x3）2＝x6，所以f（x2）＝[f（x）]2，故选C.

答案：

C

3．定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝2f（x）．若当0≤x≤1时，f（x）＝x（1－x），则当－1≤x≤0时，f（x）＝________.

解析：

若－1≤x≤0，则0≤x＋1≤1，

故f（x＋1）＝（x＋1）（1－x－1）＝－x（x＋1）．

因为f（x＋1）＝2f（x），所以f（x）＝－.

答案：

－

考点三　分段函数　多维探究　题点多变考点——多角探明

[锁定考向]　高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小．

常见的命题角度有：

（1）分段函数的函数求值问题；

（2）分段函数的自变量求值问题；（3）分段函数与不等式问题．

角度一　分段函数的函数求值问题

1．（优质试题·湖南五市十校联考）已知函数f（x）＝则f（－2017）＝（　　）

A．1　　　　　　　　　B．e

C.D．e2

解析：

由题意，得f（－2017）＝f（2017）＝f（2013）＝…＝f

（1）＝e.

答案：

B

分段函数的求值问题的解题思路

（1）求函数值：

先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f（f（a））的形式时，应从内到外依次求值．

（2）求自变量的值：

先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验.

角度二　分段函数的自变量求值问题

2．已知函数f（x）＝且f（a）＝－3，则f（6－a）＝________.

解析：

当a≤1时，f（a）＝2a－2＝－3无解；当a＞1时，由f（a）＝－log2（a＋1）＝－3，得a＋1＝8，解得a＝7，所以f（6－a）＝f（－1）＝2－1－2＝－.

答案：

－

分段函数的自变量求值问题要注意判断自变量与定义域的关系、常用分类讨论思想.

角度三　分段函数与不等式问题

3．（优质试题·泉州质量检测）已知函数f（x）＝若a[f（a）－f（－a）]＞0，则实数a的取值范围为（　　）

A．（1，＋∞）

B．（2，＋∞）

C．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

D．（－∞，－2）∪（2，＋∞）

解析：

根据题意，当a＞0时，f（a）－f（－a）＞0，即a2＋a－[－3（－a）]＞0，∴a2－2a＞0，解得a＞2；当a＜0时，f（a）－f（－a）＜0，即－3a－[（－a）2＋（－a）]＜0，

∴a2＋2a＞0，解得a＜－2.综上，实数a的取值范围为（－∞，－2）∪（2，＋∞）．故选D.

答案：

D

已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.

[即时应用]

1．（优质试题·安徽百校论坛联考）已知函数f（x）＝则f[f（3）]＝________.

解析：

f[f（3）]＝f＝f＝sin＝sin＝.

答案：

2．（优质试题·安阳模拟）已知函数f（x）＝若f[f（x0）]＝1，则x0＝________.

解析：

当x0＜0时，f（x0）＝2－x0－1＞0，则f[f（x0）]＝＝1，解得x0＝－1；当x0＞0时，f（x0）＝＞0，则f[f（x0）]＝＝1，解得x0＝1；当x0＝0时，f（x0）＝2－x0－1＝0，则f[f（x0）]＝0.

综上，x0＝－1或x0＝1.

答案：

±1

3．（优质试题·高考全国卷Ⅲ）设函数f（x）＝则满足f（x）＋f>1的x的取值范围是__________．

解析：

当x>0时，f（x）＝2x>1恒成立，当x－>0，即x>时，f＝，当x－≤0，即0，则不等式f（x）＋f>1恒成立．当x≤0时，f（x）＋f＝x＋1＋x＋＝2x＋>1，所以－

答案：

考点四　函数的新定义问题　创新探究　交汇创新考点——突破疑难

常见形式

（1）讨论新函数的性质；

（2）利用新函数进行运算；（3）判断新函数的图象；（4）利用新概念判断命题真假等．

[典例]　（优质试题·滨州月考）具有性质f＝－f（x）的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：

①y＝x－；②y＝x＋；③y＝中满足“倒负”变换的函数是（　　）

A．①②　　　　　　　B．②③

C．①③D．只有①

[解析]　（逐项验证法）对于①，f＝－x＝－f（x）满足“倒负”变换；

对于②，f＝＋x≠－f（x）不满足“倒负”变换；

对于③，f＝

满足f＝－f（x）．故③满足“倒负”变换，故选C.

[答案]　C

求解函数新定义问题的思路

（1）理解定义：

深刻理解题目中新函数的定义、新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系．

（2）合理转化：

将题目中的新函数与已学函数联系起来，仔细阅读已知条件进行分析，通过类比已学函数的性质、图象解决问题，或将新函数转化为已知函数的复合函数等形式解决问题．

（3）特值思想：

如果函数的某一性质（一般是等式、不等式等）对某些数值恒成立，那么通过合理赋值可以得到特殊函数值甚至是函数解析式，进而解决问题.

[即时应用]

1．已知定义域为D的函数y＝f（x）和常数c，若对∀ε＞0，∃x∈D使得0＜|f（x）－c|＜ε，则称函数y＝f（x）为“c敛函数”．给出下列函数：

①f（x）＝x（x∈Z）；②f（x）＝2－x＋1