中考 临考专题训练正方形及四边形综合问题含答案.docx

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中考临考专题训练正方形及四边形综合问题含答案

2021中考临考专题训练：

正方形及四边形综合问题

一、选择题

1.下列命题是假命题的是（　　）

A.平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形

B.同角（或等角）的余角相等

C.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

D.正方形的对角线相等，且互相垂直平分

2.下列条件不能判断▱ABCD是正方形的是（　　）

A.∠ABC=90°且AB=AD

B.AB=BC且AC⊥BD

C.AC⊥BD且AC=BD

D.AC=BD且AB=BC

3.如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为（　　）

A.

B.2

C.

＋1

D.2

＋1

4.如图，在正方形ABCD中，AB=1，点E，F分别在边BC和CD上，AE=AF，∠EAF=60°，则CF的长是（　　）

A.

B.

C.

-1D.

5.（2020·温州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为

A．14B．15C．

D．

6.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G、F，H为CG的中点，连接DE、EH、DH、FH.下列结论：

①EG＝DF；②∠AEH＋∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若

＝

，则3S△EDH＝13S△DHC，其中结论正确的有（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.已知在平面直角坐标系中放置了5个如图X3－1－10所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是（　　）

A.

B.

C.

D.

8.（2020·东营）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N，下列结论：

①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③

；④△POF∽△BNF；⑤点O在M、N两点的连线上．其中正确的是（）

A.①②③④B.①②③⑤C.①②③④⑤D.③④⑤

二、填空题

9.将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置（如图），使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD=　　　　.（结果保留根号） 

10.如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且E，A，B三点共线，AB=4，则阴影部分的面积是　　　　. 

11.以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE，则∠BEC的度数是　　　　. 

12.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，若△EFC的周长为12，则EC的长为　　　　. 

13.如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC=8，AE=CF=2，则四边形BEDF的周长是　　　　. 

14.如图，正方形ABCD的面积为3cm2，E为BC边上一点，∠BAE＝30°，F为AE的中点，过点F作直线分别与AB，DC相交于点M，N.若MN＝AE，则AM的长等于________cm.

15.七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.由边长为4

的正方形ABCD可以制作一副如图①所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图②所示的“拼搏兔”造型（其中点Q，R分别与图②中的点E，G重合，点P在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是　　　　. 

16.如图，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），则正方形边长a的取值范围是________．

三、解答题

17.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB.过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F.

求证:

OE=OF.

18.如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM.

（1）如图①，点E在CD上，点G在BC的延长线上，判断DM，EM的数量关系与位置关系，请直接写出结论.

（2）如图②，点E在DC的延长线上，点G在BC上，

（1）中结论是否仍然成立?

请证明你的结论.

19.已知正方形ABCD中，BC＝3，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF＝BE，连接AE、AF，过点A作AH⊥ED于H点．

（1）求证：

△ADF≌△ABE；

（2）若BE＝1，求tan∠AED的值．

20.如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一条直线上，且AD＝3，DE＝1，连接AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H.

（1）求sin∠EAC的值；

（2）求线段AH的长．

21.如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E，F分别在AB，BC上（AE

（1）求证:

OM=ON;

（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长.

22.已知正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交CD于点F.

（1）如图①，连接AF，若AB＝4，BE＝1，求证：

△BCF≌△ABE；

（2）如图②，连接BD，交AE于点N，连接AC，分别交BD、BF于点O、M，连接GO，求证：

GO平分∠AGF；

（3）如图③，在第

（2）问的条件下，连接CG，若CG⊥GO，AG＝nCG，求n的值.

23.（2020·河南）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为

.连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE.

（1）如图1，当

=60°时，△DEB′的形状为，连接BD，可求出

的值为；

（2）当0°＜

＜360°且

≠90°时，①

（1）中的两个结论是否仍然成立?

如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；

②当以点B′、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出

的值.

24.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．

（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是________；当t＝3时，正方形EFGH的边长是________；

（2）当1＜t≤2时，求S与t的函数关系式；

（3）直接答出：

在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？

最大面积是多少？

2021中考临考专题训练：

正方形及四边形综合问题-答案

一、选择题

1.【答案】A

2.【答案】B　[解析]A.▱ABCD中，若∠ABC=90°，则▱ABCD是矩形，再由AB=AD可得是正方形，故此选项错误;

B.▱ABCD中，若AB=BC，则▱ABCD是菱形，再由AC⊥BD仍可得是菱形，不能判定为正方形，故此选项正确;

C.▱ABCD中，若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，再由AC=BD可得是正方形，故此选项错误;

D.▱ABCD中，若AC=BD，则▱ABCD是矩形，再由AB=BC可得是正方形，故此选项错误.故选B.

3.【答案】B　【解析】∵正方形ABCD的面积为1，∴BC＝CD＝1，∵E、F是边的中点，∴CE＝CF＝

，∴EF＝

＝

，则正方形EFGH的周长为4×

＝2

.

4.【答案】C　[解析]连接EF.∵AE=AF，∠EAF=60°，∴△AEF为等边三角形，∴AE=EF.∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠D=∠C=90°，AB=AD，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∴EC=CF.设CF=x，则EC=x，AE=EF=

=

x，BE=1-x.在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，∴1+（1-x）2=（

x）2，解得x=

-1（舍负）.故选C.

5.【答案】A

【解析】本题主要考查了相似三角形和正方形的性质，由题意知△CDP∽△CBQ，所以

，即

，解得：

BC＝2CD，所以CQ＝2CP，则CP＝5，CQ＝10，由于PQ∥AB，所以∠CBA＝∠BCQ＝∠DCP，则tan∠BCQ＝tan∠DCP＝tan∠CBA＝

，不妨设DP＝x，则DC＝2x，在Rt△DCP中，

，解得x＝

.∴DC＝2

，BC＝4

，所以AB＝10，△ABC的斜边上的高＝

所以CR＝14，所以因此本题选A．

6.【答案】D　【解析】逐项分析如下表：

序号

逐项分析

正误

①

在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠DAB＝∠B＝∠BCD＝∠CDA＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°，∵EF∥AD，∴四边形EFDA、四边形EFCB是矩形，∴∠EFC＝∠ADC＝90°，EF＝DC，在Rt△CGF中，∠ACD＝45°，∴GF＝CF，∴EF－GF＝CD－CF，即EG＝DF

√

②

∵△GFC是等腰直角三角形，H是CG的中点，∴GH＝FH，∠HGF＝∠GFH＝45°，∴∠EGH＝∠DFH＝135°，又由①知EG＝DF，∴△EGH≌△DFH（SAS），∴∠HEF＝∠FDH，∵∠AEH＝∠AEF＋∠HEF＝90°＋∠HEF，∠ADH＝∠ADC－∠FDH＝90°－∠FDH，∴∠AEH＋∠ADH＝180°

√

③

由②可知EH＝DH，FH＝CH，又∵EF＝DC，∴△EHF≌△DHC（SSS）

√

④

∵△EGH≌△DFH，∴EH＝DH，∠EHG＝∠DHF，∴∠EHG＋∠AHD＝∠DHF＋∠AHD＝90°，即∠EHD＝∠AHF＝90°，∴△EHD为等腰直角三角形，∵

＝

，∴设AE＝2x，AB＝3x，则DE＝

＝

x，∴EH＝DH＝

×

x＝

x，∴S△EDH＝

EH2＝

×

x2＝

x2.在△DHC中，设CD边上的高为h，则h＝

CF＝

，则S△DHC＝

CD·h＝

×3x×

＝

x2，

＝

＝

，即3S△EDH＝13S△DHC

√

7.【答案】

D　解析：

过小正方形的一个顶点D3作FQ⊥x轴于点Q，过点A3作A3F⊥FQ于点F.

∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，

∴∠B3C3E4＝60°，∠D1C1E1＝30°，∠E2B2C2＝30°，

∴D1E1＝

D1C1＝

，∴D1E1＝B2E2＝

，

∴cos30°＝

＝

，解得：

B2C2＝

.

∴B3E4＝

，cos30°＝

.

解得：

B3C3＝

.

则D3C3＝

.

根据题意得出：

∠D3C3Q＝30°，∠C3D3