关于Hermite矩阵的一些性质Word文档格式.docx

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以及通过研究正定Hermite矩阵Schur补的迹和特征值的性质，得到了正定Hermite矩阵和的Schur补与正定Hermite矩阵Schur补的和的迹和特征值之间的不等式.

关键词：

Hermite矩阵，特征值，矩阵的迹，Schur补

众所周知对于矩阵特征值估计的研究无论是在理论上还是在应用上都有极其重要的意义，且已有大量的研究文献。

1预备知识

定义1设矩阵，若（是指的共轭转置），则称A为Hermite矩阵。

定义2称为矩阵A的迹。

定义3如果非负矩阵A的所有行和以及列和均为1，就称A是双随机矩阵。

定义4设表示n×

n阶矩阵.是非奇异主子阵，我们称是A关于的Schur补，记为.

引理1矩阵为Hermite矩阵，则A的所有特征值都是实数。

引理2矩阵为Hermite矩阵，其特征值为它们按任意规定的次序排列，则存在一个酉矩阵，使得

引理3矩阵为双随机矩阵，当且仅当对某个存在置换矩阵和正纯量，使得，且.引理4设为一置换，为按递增顺序排列的两个数列，则有：

.

引理5设是正定矩阵，若，那么.引理6若存在非奇异阵使得，那么证明因为

所以

引理7若A≥0，B≥0，那么A+B≥0

引理8若是半正定Hermite矩阵，是非奇异主子阵，那么半正定.证明设，取，有

因A半正定，由引理6，知半正定.

2主要结果

定理1设A，B均为n×

nHermite矩阵，它们的特征值分别依次从大到小排列为：

，则

有

证明A为正定Hermite矩阵时，由于A，B均为n×

nHermite矩阵，则分别存在酉矩阵

W，V使得：

则：

记，易知U仍为酉矩阵，故有：

由知是双随机矩阵，记Ω为双随

机矩阵的集合，考虑如下极大值问题：

由于Ω为一有界闭凸集，上面问题的目标函数是关于的线性函数，故它在Ω的某一端点上取得极大值.而由引理3知双随机矩阵集合的端点为置换矩阵，故存在置换矩阵使

其中为一置换矩阵对应的置换，于是由引理4，可得：

（2）

如果A是非正定的，则存在充分大的实数m>

0，使得A+mI为正定阵（I为n×

n阶单位阵），则A+mI的特征值为，由

（2）有：

即：

又因为：

所以：

故结论成立。

由定理1易知以下结论成立。

推论1设A为n×

n正定Hermite矩阵，B为n×

nHermite矩阵，矩阵A，B，AB的特征值分别为：

.则有：

推论2设，为n×

n正定Hermite矩阵，矩阵A，B，AB的特征值分别为：

.则有.

定理2设A，B，C均为n×

nHermite称阵，它们的特征值依次从大到小排列为：

，如果，则的特征值之间有如下关系成立：

证明由于均为n×

nHermite矩阵，则

推论3设均为n×

n正定Hermite矩阵，它们的特征值依次从大到小排列为：

则：

.定理3设，是正定Hermite矩

阵，且分别是的非奇异主子阵，那么

（1）证明于是

注意到均为n-k阶正定Hermite矩阵，由引理5容易得到：

参考文献

[1]李乔.矩阵论八讲[M].上海：

上海科学技术出版社，1988

[2]RogerA.Horn ，CharlesR.Johnson.矩阵分析[M].北京：

机械工业出版社.2005，4.

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[4]程代展，齐洪胜.矩阵的半张量积理论与应用（第二版）[M].北京：

科学出版社，2011.