运筹学-第9章——排队论Word文件下载.doc

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是服从（9-2）的泊松流等价于{Tn}相互独立并且服从参数为λ的负指数分布.

其中，N（t）表示在内到达系统的顾客数，Tn表示第n位顾客与上一位顾客的到达时间间隔.

最简单流在现实生活中常遇到,如车站候车的乘客数、上下班高峰过后通过路口的车流、人流等都是或近似最简单流.多个独立的最简单流的叠加仍是最简单流.

（3）爱尔朗（Erlang）输入

由k个相互独立且均服从参数为λ的负指数分布的随机变量之和组成的随机变量所服从的分布为k阶爱尔朗（Erlang）分布，其密度为

分布函数为

数学期望与方差分别为.

例如，在排队系统中，有k个并列的服务台，顾客到达系统的时间间隔服从参数为λ的负指数分布，若规定第个顾客进入第i服务台（i=1,2,…,k）,则各服务台从第二个顾客始获得的输入为k阶爱尔朗分布.

9.1.2排队规则

排队规则是指顾客接受服务的规则，通常有损失制、等待制和混合制.

（1）损失制

当一个顾客到达时，若没有空的服务台，则不等待而立即离去.例如电话占线.

（2）等待制

当顾客到达时，没有空的服务台，就排队等待服务.如排队购车票.在等待制中，服务次序有先到先服务（FCFS）、后到先服务（LCFS）、随机服务（RSS）、有优先权服务（PR）等方式.

（3）混合制

损失制与等待制的混合.系统容量有限，当等待的顾客数太多时，后来的顾客就自动离去.

9.1.3服务机构

服务机构包括：

服务台数，服务台的串、并联方式，服务时间分布.

以下是几种常见的服务时间分布

（1）定长分布

每位顾客的服务时间均为常数T，其分布函数为

（2）负指数分布

每位顾客的服务时间相互独立，且都服从参数为μ的负指数分布.其分布函数为

（3）爱尔朗分布

每位顾客的服务时间相互独立，均服从相同参数μ的k阶爱尔朗分布.

9.1.4生灭过程及其稳态概率

（1）生灭过程

生灭过程是排队论中常用到的一类随机过程.

设为一随机过程，N（t）的取值集为有限集I={0,1,2,…,m}或无限集I={0,1,2,3,…}称为状态集，若经过长度为的一小段时间后满足下列特性，则称为生灭过程：

1）

2）

3）

某一地区的人口的自然增减、细菌的繁殖与死亡、排队系统的顾客数量的变化都可视作一个生灭过程.

若N（t）表示时刻t某生物群体的个数，在充分短的时间里，忽略高阶无穷小后，则该群体个数j的状态转移只有三种可能：

状态转移

概率

1

j→j+1（增一个）

λjΔt

2

j→j-1（减一个）

μjΔt

3

j→j（不变）

1-（λj+μj）Δt

λj和μj称为转移强度.

若N（t）表示时刻t的某排队系统内顾客数，若“生”表示到达一个顾客，“灭”表示离去一个顾客，则N（t）可视作一个生灭过程.从而可近似认为，在充分短的时间里，该系统内的顾客数要么不变，要么增一个或减一个.

（2）瞬时概率与稳态概率

一般地，对于生灭过程{N（t）,t>

0}，设时刻t处于状态j的概率为

，

现在来探讨的此概率分布应满足什么条件.

设Aj={时刻t系统处于状态j}，Bj={时刻系统处于状态j}，

A={时刻t系统处于除状态j-1、j、j+1之外的状态}，

则Bj可以分解为四个互不相容的事件之和

由全概率公式得

而

从而当j>

0时

当j=0时

进一步得

令得

，（9-3）

（9-3）的解称为生灭过程的瞬时概率，但这是一个差分微分方程组，一般很难解.

假设极限存在

在（9-3）中令得线性方程组

故

从而

（9-4）

记

则

对于概率分布，要求，从而得.综合得

，,（j>

1）,（9-5）

当I是无穷集时，要求收敛.这时按（9-5）计算得的概率称为生灭过程的稳态概率，或统计平衡概率.

当N（t）表示时刻t排队系统内的顾客数时，pj就是该系统统计平衡时有j个顾客的概率.对大多数实际问题.t较大时，可以认为系统近似于统计平衡状态.

9.1.5排队系统的主要参数及记号

（1）概念与参数

队长——排队系统中全部顾客数（包括正在接受服务和等待的顾客）

等待队长——系统中等待服务的顾客数

逗留时间——顾客从到达系统至离开系统的时间

等待时间——顾客从到达系统至开始接受服务的时间

以上几个指标都是随机变量,以下说的“平均”都是指数学期望.

λ——单位时间内平均到达顾客数（称平均到达率）

1/λ——顾客平均到达时间间隔

μ——每个服务台单位时间内接受服务的顾客平均数（称单服务台平均服务率）

1/μ——每位顾客平均服务时间

S——服务台数

——排队系统的服务强度，或系统的平均利用率,该指标描述服务台的繁忙程度.

pj——在统计平衡时，系统中有j个顾客的概率，称为队长分布

L——平均队长

Lq——平均等待队长

W——平均逗留时间

Wq——平均等待时间

λe——单位时间内进入系统平均顾客数（称平均有效到达率）

在损失制和混合制系统中，到达的顾客不一定进入系统，我们把进入称为有效到达，一般地，（在等待制中，在损失制和混合制中）.

（2）排队模型的主要特性及其记号

一个排队模型包含6个主要特征：

①输入过程顾客到达时间间隔的分布

②顾客服务时间的分布

③服务台个数（多个服务台时，假设服务台是并联的，每次每个服务台只对一个顾客服务）

④系统容量

⑤顾客源数目

⑥排队规则

常用记号：

M：

负指数分布，或最简单流（Markov）

D：

定长分布（Deterministic）

Ek：

k阶Erlang分布

G：

一般独立分布（General），

FCFS：

先到先服务，

LCFS：

后到先服务

通常描述一个排队模型的类别可写出其六个主要特征，并用“/”分隔，如：

①/②/③/④/⑤/⑥

在这里只讨论先到先服务的问题，故省去⑥，当④=∞或⑤=∞时也可省略.

例如，M/M/1即表示M/M/1/∞/∞/FCFS，M/M/1/1表示M/M/1/1/∞/FCFS,一般若系统满足③=④<

⑤,则属于损失制.

常见的排队系统，在达到统计平衡时，指标满足以下关系

，（9-6）

（9-6）式称为李特尔（Little）公式.

9.2常见排队模型

9.2.1M/M/S排队模型

此时假定排队系统容量无限，客源也无限，属等待制.S个服务台并联排列，各自独立地为每个顾客服务.如图9-1所示.

设顾客到达时间间隔{Tn}为参数是ë

的负指数分布，服务时间{τn}为参数是μ的负指数分布.

...|4|3|2|1

…

s

进入

顾客

离去

服务台

图9-1

用N（t）表示在时刻t系统内的顾客数，则可以证明如下结论：

（1）是一个生灭过程.在忽略的情况下，在时间内，有一位顾客达到系统的概率为，系统内一个顾客得到服务后离去的概率为，因现在有S个服务台，故当系统内顾客数时，这j个顾客同时得到服务，故系统的平均服务率为，当系统内顾客数时，系统内只能有S个顾客同时得到服务，故系统的平均服务率为，故转移强度

λj=λ，j=0,1,2,…

（2）

，其中,（9-7）

故当ρ<

1时，收敛.从而由（9-5）有稳态概率.

（9-8）

（9-9）

（3）平均队长

（9-10）

平均等待队长

（9-11）

利用Little公式得：

（此时是等待制λe=λ）

平均逗留时间

（9-12）

平均等待时间

（9-13）

可见还有关系：

（9-14）

其中，λ/μ为正在接受服务的顾客平均数，1/μ为每位顾客平均服务时间.

（4）特别当S=1时，

，，（9-15）

（9-16）

（9-17）

（9-18）

（9-19）

（5）当S=2时，

，，（9-20）

（9-21）

（9-22）

（9-23）

（9-24）

在使用以上公式时，要注意统一各参数的时间单位.同时，要求ρ<

1,才保证稳态概率存在.

例9-1调查某天到达某邮局的顾客数和对顾客服务时间.以每5min为一个时段,统计了100个时段中顾客到达的情况如下

到达人数

4

5

6

时段数

14

27

18

9

以及对100位顾客的服务时间如下表，其中第一行为服务时间（单位：

s）,第三行为顾客数.

t

0~12

13~24

25~36

37~48

49~60

61~72

73~84

85~96

97~108

109~120

121~150

151~180

181~200

中值