插值和拟合在水流流量计算中的运用文档格式.doc

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五、总结 14

参考文献 14

附件 15

一.插值分析法

插值的定义：

求过已知有限个数据点的近似函数的方法。

常用的插值法：

拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite插值和三次样条插值。

本文主要分析拉格朗日多项式插值、分段线性插值、三次样条插值。

1.1拉格朗日多项式插值：

已知函数在区间上的n+1个结点处的函数为（i=0,1,…n），若存在简单函数,使得（i=0,1,…n）成立,就关于节点的插值函数,点称为差值节点,包含差值节点的区间[a,b]称为插值区间，而称为被，求插值函数插的方法称为插值法。

若是一个次数至多为n次的项式,即,为实数，就称为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。

若为分段的多项式,就是分段差值。

n次多项式有n+1个待定系数，由插值条件恰好给出n+1个方程

（1）

先构造一组基函数

（2）

显然是n次多项式且满：

称n次多项式称n次多项式为节点上的n次插值基函数。

设（3）

多项式（3）称为n次拉格朗日（lagrange）插值多项式，函数称为拉格朗日插值基函数。

特别地，当n＝1，2时，n次拉格朗日（lagrange）插值多项式即为线性差值多项式和抛物插值多项式。

1.2分段线性插值法

假设区间[a,b]的连续函数g（x）在n+1个节点上的函数值。

则得到xy平面上的n+1个数据点。

连接相邻数据点，得到n条线段，它们组成一条折线。

把区间[a,b]上这n条折线段表示的函数称为被插值函数g（x）关于这n+1个数据点的分段线性插值函数，记作I（x）具有如下性质：

1）I（x）可以分段表示，在每个小区间上，它是线性函数，即

1）

2）

3）在[a,b]上连续。

若构造插值函数

因则

当g（x）在[a,b]上连续时，分段线性插值函数I（x）具有良好的收敛性，即而且当g（x）在[a,b]上二阶导数连续时，对于任意有

其中用计算x点的插值时，只用到x左右的两个节点，计算量与节点个数n+1无关。

但n越大，分段越多，插值误差越小。

实际上用数据点作插值计算时，分段线性插值就足够了，如数学、物理中用的特殊函数表，数理统计中用的概率分布表等。

+

1.3三次样条插值

分段线性插值不光滑，这影响了它在某些工程技术实际问题中的应用。

例如：

在船体、飞机等外形曲线的设计中，不仅要求曲线连续而且还要求曲线的曲率连续，这就要求插值函数具有连续的二阶导数。

为解决这一类问题，就产生了三次样条插值。

从数学上加以概括，可得到样条函数的定义如下：

三次样条函数记作，，满足：

①在每个小区间是三次多项式。

②在每个内节点上具有二次连续导数。

③

由三次样条函数中的条件①知，有个待定系数。

由条件②知，在个内节点上具有二阶连续导数，即满足条件：

共有个条件。

由条件③，知，共有个条件。

因此，要确定一个三次样条，还需要外加个条件，最常用的三次样条函数的边界条件有两类：

第一类边界条件：

第二类边界条件：

特别地，,称为自然边界条件。

第三类边界条件：

称为周期边界条件。

三次样条插值不仅光滑性好，而且稳定性和收敛性都有保证，具有良好的逼近性质。

样条插值函数的建立。

构造满足条件的三次样条插值函数的表达式可以有多种方法。

下面我们利用的二阶导数值表达，由于在区间上是三次多项式，故在上是线性函数，可表示为（5）

其中对积分两次并利用及，可定出积分常数，于是得三次样条表达式

（6）

上式中是未知的，为确定，对求导得

（7）

由此可得。

同样求出在区间上的表达式，从而得

利用可得（8）

其中；

；

（9）

对第一类边界条件，可导出两个方程

（10）

如果令，则式（8）及其（10）可写出矩阵（11）

通过求解上述三对角矩阵可求得。

对于第二类边界条件，直接得端点方程（12）

如果令，则式（8）及式（12）也可以写成矩阵（11）的形式。

对于第三类边界条件，可得（13）

其中，

则式（8）及式（13）可以写成矩阵形式

求解上述矩阵可得。

1.4一维插值法总结

拉格朗日插值函数在整个插值区间上有统一的解析表达式，其形式关于节点对称，光滑性好。

但缺点同样明显，这主要体现在高次插值收敛性差（龙格现象）；

增加节点时前期计算作废，导致计算量大；

一个节点函数值的微小变化（观测误差存在）将导致整个区间上插值函数都发生改变，因而稳定性差等几个方面。

因此拉格朗日插值法多用于理论分析，在采用拉格朗日插值方法进行插值计算时通常选取n<

7。

分段线性插值函数（仅连续）与三次样条插值函数（二阶导数连续）虽然光滑性差，但他们都克服了拉格朗日插值函数的缺点，不仅收敛性、稳定性强，而且方法简单实用，计算量小。

因而应用十分广泛。

分段线性插值，具有良好的稳定性和收敛性，但光滑性较差。

在数学上若函数（曲线）的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。

易见，分段线性插值不光滑，这影响了它在某些工程技术实际问题中的应用。

二.曲线拟合

已知一组数据，即平面上的n个点，互不相同，寻求一个函数（曲线）y=f（x），使f（x）在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。

2.1最小二乘法拟合法

设为个线性无关的函数，对给定的数据，

求使最小。

利用极值的必要条件。

得到关于的线性方程组

则方程组可表示为，

其中，，

由于线性无关，所以是列满秩，是可逆矩阵，方程组的解存在且唯一，并且。

取，

得多项式拟合方程。

三．数值实验

为了更准确明白插值分析与拟合方法的实用性，采用以下示例进行测试.

3.1实例测试

许多社区没有测量流入或流出水塔的水量装置，他们只能代之以每小时测量水塔中的水位，其误差不超过0.5%。

更重要的是，当水塔中的水位下降到最低水位L时水泵就启动向水塔输水，直到最高水位H，但也不能测量水泵的供水量。

因此，当水泵在输水时不容易建立水塔中水位和水泵工作时用水量之间的关系。

水泵每天输水一次或两次，每次约二小时。

试估计任意时刻（包括水泵在输水工作的时候）从水塔流出的流量f（t），并估计一天的总水量。

表1给出了从第一次测量开始的以秒为单位的时刻，以及该时刻的高度单位为百分之一英尺的水位测量值。

表1

时间/h

水位/m

9.68

12.95

10.21

0.92

9.45

13.88

9.94

1.84

9.31

14.98

9.65

2.95

9.13

15.90

9.41

3.87

8.98

16.83

9.18

4.98

8.81

17.93

8.92

5.90

8.69

19.04

8.66

7.00

8.52

19.96

8.43

7.93

8.39

20.84

8.22

8.97

22.02

水泵开动

9.98

22.96

10.93

23.88

10.59

10.95

10.82

24.99

10.35

12.03

10.50

25.91

10.18

（1）影响水箱流量的唯一因素是该区公众对水的普通需要；

（2）水泵的灌水速度为常数；

（3）从水箱中流出水的最大流速小于水泵的灌水速度；

（4）每天的用水量分布都是相似的；

（5）水箱的流水速度可用光滑曲线来近似；

（6）当水箱的水容量达到514×

103g时，开始泵水；

达到677.6×

103g时，便停止泵水

3.3实例解答

首先依照表1所给数据，用MATLAB作出时间—水位散点图（图1）。

下面来计算水箱流量与时间的关系。

根据图1一种简单的处理方法为将表1中的数据分为三段，然后对每一段的数据做如下处理：

设某段数据，相邻数据中点的平均流速用下面的公式（流速=（右端点的水位－左端点的水位）/区间长度）：

每段数据首尾点的流速用下面的公式计算：

用以上公式求得时间与流速之间的数据如表2。

表2

流速/cm·

h-1

流速/cm·

29.89

12.49

31.52

0.46

21.74

13.42

29.03

1.38

18.48

14.43

26.36

2.395

16.22

15.44

26.09

3.41

16.30

16.37

24.73

4.425

15.32

17.38

23.64

5.44

13.04

18.49

23.42

6.45

15.45

19.50

25.00

7.465

13.98

20.40

23.86

8.45

16.35

22.17

19.29

27.09

33.50

24.43

21.62

11.49

29.63

25.45

13.30

由表2作出时间—流速散点图如图2。

3.3.1插值法分析

由表2，对水泵不工作时段1，2采取插值方法，可以得到任意时刻的流速，从而可以知道任意时刻的流量。

我们分别采取拉格朗日插值法，分段线性插值法及三次样条插值法；

对于水泵工作时段1应用前后时期的流速进行插值，由于最后一段水泵不工作时段数据太少，我们将它忽略，只对水泵工作时段2进行插值处理。

我们总共需要对四段数据（第1，2未供水时段，第1供水时段，混合时段）进行插值处理，下面以第1未供水时段数据为例分别用三种方法算出流量函数和用水量（用水高度）。

调用附件程序1实现图3结果

图3

运行结果：

lglrjf=145.625