复合函数知识总结及例题Word文档下载推荐.doc

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设的定义域为D，即，由此得，的作用范围为E，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，F为的定义域。

例5.若函数的定义域为，则的定义域为____________。

的作用范围为，又f对作用，所以，解得

即的定义域为

评注：

函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变。

利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。

三、复合函数单调性问题

（1）引理证明

已知函数.若在区间）上是减函数，其值域为（c，d），又函数在区间（c,d）上是减函数，那么，原复合函数在区间）上是增函数.

证明：

在区间）内任取两个数，使

因为在区间）上是减函数，所以,记,即

因为函数在区间（c,d）上是减函数，所以,即，

故函数在区间）上是增函数.

（2）．复合函数单调性的判断

复合函数的单调性是由两个函数共同决定。

为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：

增↗

减↘

以上规律还可总结为：

“同向得增，异向得减”或“同增异减”.

（3）、复合函数的单调性判断步骤：

ⅰ 

确定函数的定义域；

ⅱ 

将复合函数分解成两个简单函数：

与。

ⅲ 

分别确定分解成的两个函数的单调性；

ⅳ 

若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数为增函数；

若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数为减函数。

（4）例题演练

例1、求函数的单调区间，并用单调定义给予证明

解：

定义域

单调减区间是设则

=

∵∴

∴>

又底数

∴即

∴在上是减函数

同理可证：

在上是增函数

［例］2、讨论函数的单调性.

［解］由得函数的定义域为

则当时，若，∵为增函数，∴为增函数.

若，∵为减函数.

∴为减函数。

当时，若，则为减函数，若，则为增函数.

例3、.已知y=（2-）在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.

∵a＞0且a≠1

当a＞1时，函数t=2->

0是减函数

由y=（2-）在［0，1］上x的减函数，知y=t是增函数，

∴a＞1

由x［0，1］时，2-2-a＞0,得a＜2,

∴1＜a＜2

当0<

a<

1时，函数t=2->

0是增函数

由y=（2-）在［0，1］上x的减函数，知y=t是减函数，

∴0<

1

由x［0，1］时，2-2-1＞0,∴0<

综上述，0<

1或1＜a＜2

例4、已知函数（为负整数）的图象经过点，设.问是否存在实数使得在区间上是减函

数，且在区间上是减函数？

并证明你的结论。

［解析］由已知，得，

其中∴即，

解得

∵为负整数，∴

∴，

即，

∴

假设存在实数，使得满足条件，设，

∵，当时，为减函数，

∴，∴

∵,∴,

∴,

∴ ①

当时,增函数,∴

∴. ②

由①、②可知，故存在

一．指数函数与对数函数

．同底的指数函数与对数函数互为反函数；

（二）主要方法：

1．解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；

2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；

3．比较几个数的大小的常用方法有：

①以和为桥梁；

②利用函数的单调性；

③作差．

（三）例题分析：

例1．

（1）若，则，，从小到大依次为；

（2）若，且，，都是正数，则，，从小到大依次为；

（3）设，且（，），则与的大小关系是（）

（）（）（）（）

（1）由得，故．

（2）令，则，，，，

∴，∴；

同理可得：

，∴，∴．（3）取，知选（）．

例2．已知函数，

求证：

（1）函数在上为增函数；

（2）方程没有负数根．

（1）设，

则

，

∵，∴，，，

∴；

∵，且，∴，∴，

∴，即，∴函数在上为增函数；

（2）假设是方程的负数根，且，则，

即，①

当时，，∴，∴，而由知，

∴①式不成立；

当时，，∴，∴，而，

∴①式不成立．

综上所述，方程没有负数根．

例3．已知函数（且）．

（1）函数的图象在轴的一侧；

（2）函数图象上任意两点连线的斜率都大于．

（1）由得：

∴当时，，即函数的定义域为，此时函数的图象在轴的右侧；

当时，，即函数的定义域为，此时函数的图象在轴的左侧．

∴函数的图象在轴的一侧；

（2）设、是函数图象上任意两点，且，则直线的斜率，

当时，由

（1）知，∴，∴，

∴，∴，又，∴；

∴，∴，又，∴．

∴函数图象上任意两点连线的斜率都大于．

同步练习

（二）同步练习：

1、已知函数的定义域为，求函数的定义域。

答案：

2、已知函数的定义域为，求的定义域。

3、已知函数的定义域为，求的定义域。

4、设，则的定义域为（）

A.B.

C.D.

选C.由得，的定义域为。

故，解得。

故的定义域为

5、已知函数的定义域为，求的定义域。

［解析］由已知，有

（1）当时，定义域为；

（2）当，即时，有，

定义域为；

（3）当，即时，有，

定义域为.

故当时，定义域为；

当时，定义域为

［点评］对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。

练习二

（5）同步练习：

1．函数y＝（x2－3x＋2）的单调递减区间是（　　）

A．（－∞，1） B．（2，＋∞）

C．（－∞，） D．（，＋∞）

先求函数定义域为（－o，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函数t（x）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y＝（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上单调递减．

B

2找出下列函数的单调区间.

（1）；

（2）

（1）在上是增函数，在上是减函数。

（2）单调增区间是，减区间是。

3、讨论的单调性。

时为增函数，时，为增函数。

4．求函数y＝（x2－5x＋4）的定义域、值域和单调区间．

由（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），当x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛｜＝x2－5x＋4｝＝R＋，所以函数的值域是R＋．因为函数y＝（x2－5x＋4）是由y＝（x）与（x）＝x2－5x＋4复合而成，函数y＝（x）在其定义域上是单调递减的，函数（x）＝x2－5x＋4在（－∞，）上为减函数，在［，＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y＝（x2－5x＋4）的增区间是定义域内使y＝（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4也为减函数的区间，即（－∞，1）；

y＝（x2－5x＋4）的减区间是定义域内使y＝（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）．

变式练习

　　一、选择题

　　1．函数f（x）＝的定义域是（　　）

　　 A．（1，＋∞） B．（2，＋∞）

　　 C．（－∞，2） D．

　　解析：

要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，

　　所以解得1＜x≤2．

　　答案：

D

　　2．函数y＝（x2－3x＋2）的单调递减区间是（　　）

　　 A．（－∞，1） B．（2，＋∞）

　　 C．（－∞，） D．（，＋∞）

　　3．若2（x－2y）＝x＋y，则的值为（　　）

　　 A．4 B．1或

　　 C．1或4 D．

　　错解：

由2（x－2y）＝x＋y，得（x－2y）2＝xy，解得x＝4y或x＝y，则有＝或＝1．

选B

　　正解：

上述解法忽略了真数大于0这个条件，即x－2y＞0，所以x＞2y．所以x＝y舍掉．只有x＝4y．

　　4．若定义在区间（－1，0）内的函数f（x）＝（x＋1）满足f（x）＞0，则a的取值范围为（　　）

　　 A．（0，） B．（0，1）

　　 C．（，＋∞） D．（0，＋∞）

因为x∈（－1，0），所以x＋1∈（0，1）．当f（x）＞0时，根据图象只有0＜2a＜l，解得0＜a＜（根据本节思维过程中第四条提到的性质）．

A

　　5．函数y＝（－1）的图象关于（　　）

　　 A．y轴对称 B．x轴对称

　　 C．原点对称 D．直线y＝x对称

y＝（－1）＝，所以为奇函数．形如y＝或y＝的函数都为奇函数．

C

　　二、填空题

　　已知y＝（2－ax）在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是__________．

a＞0且a≠1（x）＝2－ax是减函数，要使y＝（2－ax）是减函数，则a＞1，又2－ax＞0a＜（0＜x＜1）a＜2，所以a∈（1，2）．

a∈（1，2）

　　7．函数f（x）的图象与g（x）＝（）x的图象关于直线y＝x对称，则f（2x－x2）的单调递减区间为______．

因为f（x）与g（x）互为反函数，所以f（x）＝x