六年级下册奥数 含真题Word下载.docx

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20=80（台），提高后的工效：

80×

（1＋25％）=100（台）．时间有原计划的天数，又有提高效率后的天数，因此列出方程的等量关系是：

提高后的工效x所需的天数=剩下台数．

　　例3有一项工程，由甲单独做，需12天完成，丙单独做需20天完成．甲、乙、丙合作，需5天完成．如果这项工程由乙单独做，需几天完成？

工作总量．

　　例4中关村中学数学邀请赛中，中关村一、二、三小六年级大约有380～450人参赛．比赛结果全体学生的平均分为76分，男、女生平均分数分别为79分、71分．求男、女生至少各有多少人参赛？

　　分析若把男、女生人数分别设为x人和y人．依题意全体学生的平均分为76分，男、女生平均分数分别为79分、71分，可以确定等量关系：

男生平均分数×

男生人数+女生平均分数×

女生人数=（男生人数+女生人数）×

总平均分数．解方程后可以确定男、女生人数的比，再根据总人数的取值范围确定参加比赛的最少人数，从而使问题得解．

　　例5瓶子里装有浓度为15％的酒精1000克．现在又分别倒入100克和400克的A、B两种酒精，瓶子里的酒精浓度变为14％．已知A种酒精的浓度是B种酒精的2倍，求A种酒精的浓度．

　　分析依题意，A种酒精浓度是B种酒精的2倍．设B种酒精浓度为x％，则A种酒精浓度为2x％．A种酒精溶液10O克，因此100×

2x％为100克酒精溶液中含纯酒精的克数．B种酒精溶液40O克，因此400×

x％为400克酒精溶液中含纯酒精的克数．

　　例6有人用车把米从甲地运到乙地，装米的重车日行50里，空车日行70里，5日往返三次．问两地相距多少里？

（选自《九章算术》）

　　分析当你用算术法解这道题时会感到比较困难．但用方程解这一算术“难题”就容易多了．列方程解应用题的关键在于确定等量关系，确立等量关系还有一种常用的方法叫译式法，即把日常用语译成代数语言，通过列表可以看出列方程的过程．

　　例8兄弟二人三年后的年龄和是26岁，弟弟今年的年龄恰好是兄弟二人年龄差的2倍．问，3年后兄弟二人各几岁？

　　分析设3年后哥哥年龄为x岁，弟弟年龄为（26-x）岁．则今年哥哥年龄为（x-3）岁，弟弟年龄为（26-x-3）岁，兄弟二人的年龄差是（x-3）-（26-x-3）岁．列方程的等量关系是：

弟弟今年的年龄=兄弟二人年龄差的2倍．

习题一

　　1．某工厂三个车间共有180人，第二车间人数是第一车间人数的3倍还多1人，第三车间人数是第一车间人数的一半少1人．三个车间各有多少人？

克？

　　3．25支铅笔分给甲、乙、丙三人．乙分到的比甲的一半多3支，丙分到的比乙的一半多3支．问：

甲、乙、丙三人各分到几支铅笔？

　　4．甲、乙共有图书63册，乙、丙共有图书77册．三人中图书最多的人的书数是图书最少的人的书数的2倍．问：

甲、乙、丙三人各有图书多少册？

　　5．体育用品商店购进50个足球、40个篮球，共3000元．零售时足球加价9％，篮球加价11％，全部卖出后获利润298元．问：

每个足球、篮球进价各多少元？

　　6．王虎用1元钱买了油菜籽、西红柿籽和萝卜籽共100包．油菜籽3分钱一包，西红柿籽4分钱一包，萝卜籽1分钱7包．问王虎买进油菜籽、西红柿籽和萝卜籽各多少包？

第二讲关于取整计算

　　在数学计算中，有时会略去某些量的小数部分，而只需求它的整数部分．比如，用5米长的花布做上衣，已知每件上衣需用布2米，求这块布料

们收水费时，为方便经常是忽略掉用水量的小数吨数，而是先按用水量的整数吨数收费把余量推至下一个月一起收．所以数学上引进了符号〔〕，使我们的表述简明．

　　[a]表示不超过a的最大整数，称为a的整数部分．

　　[a]显然有以下性质：

　　①[a]是整数；

　　②[x]≤x；

　　③x＜[x]+1；

　　④若b≥1，则［a＋b］＞〔a〕；

　　若b≤1，则〔a＋b〕≤[a]+1．

　　请你自己举些例子验证前三条性质．

　　性质④举例：

a取2.7，则〔a〕=2．

　　若b=1.1，那么〔a＋b〕=〔2.7+1.1〕=3>

2=〔a〕．

　　若b=0.5，那么［a＋b］=［2.7+0.5］＝〔3.2〕=3=〔a〕+1；

　　若b=0.1，那么［a＋b］=〔2.8〕=2<

〔a〕＋1．

　　〔a〕还有许多性质．例：

若n是整数，则有：

　　〔a+n〕=〔a〕+n．

　　与〔a〕相关的是数a的小数部分，我们用符号{a}表示．

　　显然，a=〔a〕+{a}，而且0≤{a}＜1．

　　下面我们应用取整符号〔〕解题．

　　例1判断正误：

若2x+3〔x〕=1．则{x}=0．

　　例2求1～1993中可被2或3或5整除的整数的个数．

　　例4求满足方程〔x〕+［2x〕=19的x的值．

　　分析解这道题的关键是由x=〔x〕+{x}求2x的整数部分和小数部分．

　　例5问下面一列数中共出现了多少个互不相同的数？

　　例6设A=100！

＝12n·

M，其中M、n均是自然数．则n最大取多少？

习题二

1．在1～10000这一万个自然数中，有多少个数能够被5或7整除？

求：

S=？

3．求满足方程〔x〕+［2x］=18的x的值．

4．k是自然数，且

第三讲最短路线问题

　　通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的．人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题．

　　在本讲所举的例中，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所求的最短路线是线段；

如果它们位于凸多面体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面体表面，那么所求的最短路线是折线段；

如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短路线是曲线段；

但允许上述哪种情况，它们都有一个共同点：

当研究曲面仅限于可展开为平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等，将它们展开在一个平面上，两点间的最短路线则是连结两点的直线段．

　　这里还想指出的是，我们常遇到的球面是不能展成一个平面的．例如，在地球（近似看成圆球）上A、B二点之间的最短路线如何求呢？

我们用过A、B两点及地球球心O的平面截地球，在地球表面留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上A、B两点之间不超过半个圆周的弧线就是所求的A、B两点间的最短路线，航海上叫短程线．关于这个问题本讲不做研究，以后中学会详讲．

　　在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线．像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法．

　　例1如下图，侦察员骑马从A地出发，去B地取情报．在去B地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来．

　　解：

要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线．

　　作点A关于河岸的对称点A′，即作AA′垂直于河岸，与河岸交于点C，且使AC=A′C，连接A′B交河岸于一点P，这时P点就是饮马的最好位置，连接PA，此时PA＋PB就是侦察员应选择的最短路线．

　　证明：

设河岸上还有异于P点的另一点P′，连接P′A，P′B，P′A′．

　　∵P′A+P′B＝P′A′+P′B＞A′B=PA′+PB=PA+PB，而这里不等式P′A′＋P′B＞A′B成立的理由是连接两点的折线段大于直线段，所以PA+PB是最短路线．

　　此例利用对称性把折线APB化成了易求的另一条最短路线即直线段A′B，所以这种方法也叫做化直法，其他还有旋转法、翻折法等．看下面例题．

　　例2如图一只壁虎要从一面墙壁α上A点，爬到邻近的另一面墙壁β上的B点捕蛾，它可以沿许多路径到达，但哪一条是最近的路线呢？

我们假想把含B点的墙β顺时针旋转90°

（如下页右图），使它和含A点的墙α处在同一平面上，此时β转过来的位置记为β′，B点的位置记为B′，则A、B′之间最短路线应该是线段AB′，设这条线段与墙棱线交于一点P，那么，折线4PB就是从A点沿着两扇墙面走到B点的最短路线．

在墙棱上任取异于P点的P′点，若沿折线AP′B走，也就是沿在墙转90°

后的路线AP′B′走都比直线段APB′长，所以折线APB是壁虎捕蛾的最短路线．

　　由此例可以推广到一般性的结论：

想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时，可以把不同平面转成同一平面，此时，把处在同一平面上的两点连起来，所得到的线段还原到原始的两相邻平面上，这条线段所构成的折线，就是所求的最短路线．

　　例3长方体ABCD—A′B′C′D′中，AB=4，A′A=2′，AD=1，有一只小虫从顶点D′出发，沿长方体表面爬到B点，问这只小虫怎样爬距离最短？

（见图

（1））

因为小虫是在长方体的表面上爬行的，所以必需把含D′、B两点的两个相邻的面“展开”在同一平面上，在这个“展开”后的平面上D′B间的最短路线就是连结这两点的直线段，这样，从D′点出发，到B点共有六条路线供选择．

　　①从D′点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点，将这两个面摊开在一个平面上（上页图

（2）），这时在这个平面上D′、B间的最短路线距离就是连接D′、B两点的直线段，它是直角三角形ABD′的斜边，根据勾股定理，

　　D′B2=D′A2+AB2=（1+2）2＋42=25，∴D′B=5．

　　②容易知道，从D′出发经过后侧面再进入下底面到达B点的最短距离也是5．

　　③从D′点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点．将这两个面摊开在同一平面上，同理求得在这个平面上D′、B两点间的最短路线（上页图（3）），有：

　　D′B2＝22+（1+4）2=29．

　　④容易知道，从D′出发经过后侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是29．

　　⑤从D′点出发，经过左侧面，然后进入下底面到达B点，将这两个平面摊开在同一平面上，同理可求得在这个平面上D′、B两点间的最短路线（见图），

　　D′B2=（2+4）2+12=37．

　　⑥容易知道，从D′出发经过上侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是37．

　　比较六条路线，显然情形①、②中的路线最短，所以小虫从D′点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点（上页图

（2）），或者经过后侧面然后进入下底面到达B点的路线是最短路线，它的长度是5个单位长度．

　　利用例2、例3中求相邻两个平面上两点间最短距离的旋转、翻折的方法，可以解决一些类似的问题，例如求六棱柱两个不相邻的侧面上A和B两点之间的最短路线问题（下左图），同样可以把A、B两点所在平面及与这两个平面都相邻的平面展开成同一个平面（下右图），连接A、B成线段AP1P2B，P1、P2是线段AB与两条侧棱线的交点，则折线AP1P2B就是AB间的最短路线．