放缩法在不等式证明中的应用本科论文文档格式.docx
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名
肖常旺
指导教师
曹
新
完成日期
2014年5月1日
作者声明
本毕业论文(设计)是在导师的指导下由本人独立撰写完成的,没有剽窃、抄袭、造假等违反道德、学术规范和其他侵权行为。
对本论文(设计)的研究做出重要贡献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明。
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毕业论文(设计)成果归赣南师范学院所有。
特此声明。
作者专业
:
数学与应用数学
作者学号
100700039
作者签名
2014年
月
日
放缩法在不等式证明中的应用
肖常旺
Thezoommethodintheapplicationoftheinequalityproof
XiaoChangwang
2014年5月
目
录
内容摘要……………………………………………………………………………1
关键词………………………………………………………………………………1
Abstract……………………………………………………………………………1
Keywords……………………………………………………………………………1
序言…………………………………………………………………………………2
2放缩法的应用依据-不等式的基本性质…………………………………………2
2.1
不等式理论依据……………………………………………………………..2
2.2
不等式的传递性………………………………………………………………2
2.3
利用绝对值不等式的性质……………………………………………………2
2.4
利用均值不等式的性质………………………………………………………3
3放缩法在不等式中的应用………………………………………………………4
3.1放缩的基本类型………………………………………………………………4
3.1.1舍添一些恒正或恒负的项…………………………………………………4
3.1.2适当地将分式的分子(或分母)放大或缩小………………………………5
3.1.3利用基本不等式……………………………………………………………5
3.1.4利用函数的单调性…………………………………………………………6
3.1.5利用二项式定理进行适度地放缩…………………………………………6
3.2放缩的目的……………………………………………………………………6
3.2.1有利于约分……………………………………………………………………6
3.2.2有利于差分…………………………………………………………………7
3.2.3有利于消元…………………………………………………………………8
3.2.4有利于运用公式……………………………………………………………8
4如何进行适当地放缩…………………………………………………………9
5总结……………………………………………………………………………10
参考文献……………………………………………………………………………11
摘要
放缩法是不等式证明中一种很精细、很巧妙的证明方法,但是,如何快速、有效地进行放缩这是我们数学学习者必须要掌握的内容,以及如何灵活、适度地进行这是我们研究学习的重难点.
关键词:
放缩法;
不等式
;
证明
方式
目标
适度
Abstract:
Scalingisaveryfine,veryclevermethodofproof,proofofinequalitybut,howtofast,effectivelyscalingthisisourmathematicslearnersmustmasterthecontent,aswellashowflexible,reasonablythisisheavyanddifficultwestudy
Keywords:
scaling;
inequality;
prove;
target;
moderate
1.序言
不等式在数学学科中占有重要的地位,特别是不等式的证明,因此,学会灵活地运用其证明不等式是我们学习的重点,在不等式的证明中,我们往往遇到从直接给出的已知条件是很难以证明的,这时如果我们对式子进行放大或缩小,使问题发生相应的变化,这样就使问题得以解决,我们称这种方法为放缩法.清楚地说放缩法就是在证明不等式中,利用不等式的传递性,作相应的放大或缩小,证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明,放缩法的目的性很强,在利用放缩法中,其要求很高,在运用时必须要恰到好处,否则不能达到目的,至于放缩法适用于哪种不等式,这没有明确的规定,这需要我们在学习过程中认真总结、归纳.
2.
放缩法应用的依据——不等式的基本性质。
2.1理论依据:
(1)不等式的传递性:
如果A>
C,C>
B,那么A>
B;
(2)等量加不等量为不等量;
(3)同分子(母)异分母(子)的两个分式大小的比较。
放缩法是贯穿证明不等式始终的指导变形方向的一种思考方法
.
2.2不等式的传递性:
若则
我们常常说借别人的东西,就是借别人的东西来使用,在不等式的证明中我们也使用到,当我们不能直接证明A<
C时,我们可以借助B,让它起到连接A和C的作用,我们可以先证存在B,使得证A<
B,B<
C,这样我们就得出A<
C,这就是不等式的传性的运用
例:
已知,且,求证:
证明:
2.3利用绝对值不等式的性质:
在数学证明里,证明两个数(式子)的大小方法很多,如作差法,作商法法,分析法等,当这些方法难以证明时,特别是在绝对值不等式中时,我们可以利用我们学过的绝对值不等式的性质进行证明.
已知且,求证:
所以
我们知道任何数的平方都大于或等于0,即,化简得,即任何两个数的平方之和大于或等于他们积的2倍,而在均值不等式中,因为且与同号,所以要满足上述公式,可知,下面我们谈谈其性质
2.4利用均值不等式的性质:
若,则.
若,,且,求证:
所以
3.放缩法在不等式中的应用
3.1放缩的基本类型
3.1.1舍添一些恒正或恒负的项
为了往不等式的解靠近,我们在不能直接解题的情况下,我们可以将式子添加(或减去)某些正项或者负项,这样就能使式子放大或缩小.
证明级数收敛.
当时,有而,所以,
,于是,对,只须,当时,根据柯西收敛准则知收敛
3.1.2适当地将分式的分子(或分母)放大或缩小
在分式中,如果分母不变、分子变大(或变小)则值变大(或变小);
反之,如果分子不变、分母变大(或变小)则值变小(或变大),这是我们在放缩过程中应该掌握的结论.
已知,求S的整数部分
由,知道
(1);
由
(1)、
(2)知S=165
3.1.3利用基本不等式
放缩是没有固定的方式,这要看情况而选,在选择时重要的还是根据题意所给的条件来决定的,如下是选择利用不等式的性质来进行放缩
已知,求证:
因为,所以
3.1.4利用函数的单调性
我们已经学习了函数的单调性,知道单调函数具有增减性,而其增减性正相似于放缩法里面的放大或缩小,其实放大就是往右移动,缩小就是往左边移动.
已知各项为正数的数列满足,求证:
(1)当时,由已知有,于是,所以,因为,所以,即当时不等式成立
(2)假设时不等式成立,即,由已知有,因为,所以在上单调递增,所以,即当时不等式成立,综合
(1)、
(2)知,对时不等式都成立
3.1.5利用二项式定理进行适度地放缩
在不等式的证明中,如果正面不能进行的话,我们要想到作一些相应的变形,使题目变成我们熟悉的公式或恒等式.如二项式定理在不等式证明中的应用
设,且,求证:
令,则,即证,因,故,所以结论得证,即
3.2放缩的目的
在运用放缩法证明不等式时,我们一定要认真审题,我们应该明白我们应该怎么放缩,这样放的目的是什么,这就是放缩过程中的重要性,如:
3.2.1有利于约分
我们知道放缩法就是放与缩的过程,重要的是我们如何放和缩,使它达到我们要证明的问题,像在分式中,如果式子不能直接化简,我们可以给式子放或缩,使它能够含有公因式这样就可以约去公因式达到化简,明白的说就是让分母不变、分子变大(或变小)使其值变大或变小;
反之,让分子不变、分母变大(或变小)使值变小(或变大,).
如下题
就是利用分母变小,使值变大的放缩.
因为
因此,对,只要,即,取,当时,有,即
3.2.2有利于差分
数学是很讲究技巧的,表面上有些式子是无法求出来的,但是,如果我们
认真审题,找出题意的本质,我们就会发现它里面蕴含着很大的秘密或技巧,例如,的结果我们可以通分很快就可以算出来,但是,甚至时我们该怎么求呢?
我们知道他们他们各子分数都是可以拆开的,当他们拆开时我们发现中间两项之和刚好等于0,最后只剩下首尾两项.下面我们再看一题
证明数列收敛,其中
对,取,当时,
3.2.3
有利于消元
我们知道解题的过程就是化简,使问题由繁化简,由难化易,当由已知
件无法化简时,我们可以给问题进行适度地放缩,使得问题能够化简消元,使问题得以解决.
例:
证明级数的敛散性
取,则不论取多大,若令,则有,根据柯西收敛准则之知级数发散
3.2.4有利于运用公式
数学里面我们学习了很多数学公式,但是我们应该如何运用这些公式呢,这要具体问题具体分析,我们要认真地审题,题目的意思跟哪个公式比较接近,然后把我们所要求的问题向所需要的公式靠拢,使问题得以解决.
例