折纸研究非特殊角折法以等分正七边形中心角为例Word文档格式.docx
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[折纸]研究非特殊角折法——以等分正七边形中心角为例
一、摘要：
折纸，看似简单，实则蕴含着非常丰富有趣的数学规则，小到等分一次边角，大到解决未解难题。
在之前的研究中，我们重点从边（三角函数正切值，实操性）与角（拼角）两方面入手，得到2π/7≈51.4°
的近似解，但由于上述方法的诸多局限性繁复性，我们对此进行了改良。
我们发现所有能尺规作图解决的问题同样也能借助折纸解决，故又借助平面几何的相关知识，在提高可操作性的同时，完善了2π/7的精度，原理、折法我们会在第二部分做具体展示。
之后随着研究的深入，我们从第一部分三角函数与边角的紧密联系中得到启迪，并结合折纸特性（兼具圆规与度量的双重作用），猜想或许折纸可以解决尺规作图都不能解决的问题（诸如正七、正十一、正十三、正十九边形等无法用尺规作图做出精确解的角度）。
于是我们重点以正七边形中心角为例展开研究，大胆的尝试构建方程（令θ=2π/7，使cos3θ=cos（2π-4θ）），并运用折纸的知识，证明了理论上折纸可以折出2π/7精确角度，详见第三部分。
在折出2π/7角度后，我们想可否类比第三部分方法，把其推广到任意边形中心角上，这将是我们下一阶段的研究重点。
2、关键词：
折纸；
正七边形；
近似；
平面几何；
三角函数；
2/7π精确角度
三、问题提出：
对于研究如何折七瓣花这个想法，其实是在和同桌一同剪窗花时产生的，我们二人想做一套从一瓣到十瓣的窗花作品，可在要折第七瓣时犯了难，我们通过各种渠道查阅资料，却无一发现有过记载，这使我们越发好奇，于是着手研究如何折七瓣窗花（目标：
七边形中心角）。
4、第一部分（近似-初步思路）
（一）研究过程
【思路1】从边入手，运用三角函数，折出所需角度。
众所周知，在折纸时做到一个角的多等分很难，而一条边的就容易多了，所以我想可不可以从边上找突破口，解决问题。
这样的话另外一个问题又来了，如何将边与角联系在一起呢？
我想到了三角函数，它将边与角紧紧联系在一起。
我只要计算出所需角的三角函数值，就可以通过自己折出“单位1”折出比值，从而得解。
【过程1】
1.
·
要折七瓣花，我们首先要折出正七边形中心角，计算可得中心角
360°
/7=51.428571
2.我们选用三角函数tan作为本题边与角的连接纽带，其选择原因非常简单，一个角度的tan值只需要一个直角和它邻边之比，方便我们折纸操作。
计算可得tan360°
/7≈1.253960338，由于计算结果是无限小数，我们只能取它的近似值1.25也就是5/4。
3.我们先折一个横向的“1单位长度”，
再利用一个角为90°
，翻折将角平分得到45°
，
从而在右下角得到一个小正方形，沿着痕迹折
出纵向“1单位长度”。
之后按照如下所示比例折出4×
5小方块格
5个单位长度
4个单位长度
对角线
3
2
1
沿对角线对折，测量角度,约为51.4°
与实际值接近。
将所折角折至一张新纸上，对折成七份，最终结果如图。
【思路2】从角入手，利用特殊角的变换来造出与1/7圆心角相等、或相近似的角度
【过程2】
其实折纸中蕴含许多数学道理，折纸就相当于数学中的尺规作图。
运用折纸对称性可将很多几何图形展现出来。
从尺规作图开始着手研究，但经过我的调查研究并上网搜寻了很多资料，发现正七边形并不是运用尺规作图能做出来。
但通过对资料的寻找过程，我更加发现这个课题的可研究性，因为之前并没有人在这方面进行深入探索，这对我来说是一次全新的研究，同时面临着更多创新与挑战。
既然无法运用尺规作图达到预期效果，我开始新的摸索。
我发现，虽然我没有办法精准的算出如何折七边形，但折纸毕竟是有误差的，这样我便可算出与之近似的值，然后再进行折纸。
要如何做呢？
我想到了圆心角是360。
o,我的目标是折七边形，那么我只需要将圆心角平均分成七分，看每一份是多少？
经过精确的计算，每一份圆心角的度数约为51.43o。
我现在的首要任务变成如何利用可以折出的角度凑出这个度数。
经过资料查找，如何通过折纸折出正三角形，从而得到60o这个角度。
步骤一:
取出一张长方形纸。
步骤二：
把长的那一方对折。
步骤三：
打开以后，便可以看到一个折痕，把其中的一个角往下折，折的时候要对其中间的折痕。
步骤四：
再把另一边角往下折，边缘对齐边缘。
步骤五：
把纸打开之后我们就得到了一个三角形。
步骤六：
把多余的纸撕掉，只留下三角形。
这就是一个得到一个六十度角的方法。
后用量角器进行检验，发现基本精准。
通过这个60o角，便可进一步得到与之相关的许多角——30o,15o,7.5o等等。
但由于7.5o以下的度数不好划分，为防止误差过大，便不敢去了。
通过已有的90o角，也可推出很多角度，如45o,22.5o,11.25o等等。
经过计算发现45o+7.5o=52.5o与目标值接近，于是我对这个方法进行了实际操作。
12
34
56
78
910
（二）误差分析
经测量，所得角度分别为51°
、52°
、53°
、51°
、51.5°
误差在1°
上下浮动，可以说在折纸上已经非常不易了，而且上述两个种方法操作起来也有一定的可行度，这便是我现阶段（2015.03）的研究成果。
有关tan取舍小数点后几位的问题我们做了比对，以七边形为例，理论上：
取到小数点后一位为52.3°
-52.4°
之间，误差为1°
左右；
取到小数点后两位为51.3°
-51.4°
之间，误差为0.1度左右；
取到小数点后三位为51.3°
之间，误差为0.1°
左右，衡量操作的可行性与数据的准确性，我们选取了小数点后两位进行研究。
Tan=1.254
Tan=1.25
Tan=1.2
（三）收获
本阶段，我们认识到一种边角关系转换的思想，运用三角函数理论上是可以做出2π/7精确角度，然而由于可操作性，偶然性等种种因素，我们最终选择了正切近似值。
五、第二部分（近似-改进精度）
（一）研究过程
【过程1】
一、原理模型
1）将直径AB七等分，等分点为S1、S2、S3、S4、S5、S6。
2）以B为圆心，AB为直径画圆，与AB垂直平分线长线延长交于M、N两点。
3）连接MS2、MS4、MS6并延长分别交圆周于K1、K2、K3，连接NS2、NS4、NS6并延长，分别交圆周于K4、K5、K6。
A点即为K7。
（连线与圆周相交时，M、N只能同时连接直径上偶数点或者奇数点，就是隔一个点连一条线与圆周相交得到七等分的一个点。
4）所交的圆周上字母的点即为圆的七等分点，顺次连接各点就得到圆内接正七边形。
二、实际操作
1.折出七条相等宽度的条棱
2.将其裁下，在左边折出一个正方形，将正方部分上下对折，左右对折。
3.以正方形下边中点为固定点，让上边中点找正方形水平中线，交点处做出竖直折痕。
4.将刚刚折好的交点，与【正方形竖直中线与第二道折痕】交点，为两定点出一条线。
5.再以【正方形竖直中线与水平中线的交点】为固定点，让正方形下边中点找4中折出的那条线，交点作以标记（折一下）。
6.同理折，过第四棱的折痕，重复4.5.得到图下图
7.5.6.确定的两点与【正方形竖直中线与水平中线的交点】连线的夹角即为所求
【过程2】
（1）如图,作⊙O互相垂直的两条直径AB、CD;
（2）取OB的中点G,连结CG;
（3）在GC上截GE=OG;
（4）连结AE并延长交⊙O于F,则CF即为近似的七分之一圆周.
二、实际操作
【法1】
由图可知，此方法虽将误差缩小到±
2%上下，比第一部分精确的许多，可仍然与精确值存在误差，肉眼可能无法识别，但确实存在方法带来的误差。
【法2】
不妨设OA=1,
则OG=GE=1/2，CG=√5/2，CE=（√5-1）/2
sin∠OGE=2√5/5,cos∠OGE=√5/5.
在△AGE中用余弦定理,可得AE2=（25-3√5）/10
再用正弦定理得sin∠FAB≈0.3307,∠FAB≈19.3091°
CF度数:
90°
-2×
19.3091°
≈51.3818°
与圆周1/7约差2′48″,相对误差为0.9‰.
（3）收获
在实验中我们意识到，但凡尺规作图能解决的，折纸一样也可以。
如尺规作图中的圆规，我们可以选取定点、定长线段，来执行“圆”的命令；
如等分线段，我们更不必同尺规作图般繁琐，可直接像折扇子一样，折出想要的n等分折痕，折纸在无形中化简了尺规作图中有关度量复杂刻画的难度。
相比第一部分直接折法的诸多不理想之处，我们在第二部分有意识运用上高中所学的平面几何相关知识，结合尺规作图原理，使其在折折上得以体现，大大提高了所求角度的精度。
6、第三部分（精确）
【思路】利用余弦函数构建方程求解，同时利用折纸的便利来实施。
【过程】
令2/7π＝θ→3θ+4θ＝2π
∴3θ＝2π-4θ
∴cos3θ=cos（2π-4θ）
∴cos3θ=cos4θ
令cosθ=x
∴8x³
+4x²
-4x-1=0——①
借助折纸公理:
用折纸公理我们总可以折出直线l使A、B关于l的对称轴点分别是y轴,x轴上的A'
、B'
点
设直线l方程为y=kx+m
K=-1/kAA1=-1/kBB1
K=AA1中点连线的斜率
∴bk³
+（2s-a）k²
+（2t-b）k+a=0
令a=-1，b=8
可以的得到t=2，s=3/2
∴A（-1,2），B（3/2,8）
即此时的A、B两点的折线斜率恰好是x=cosθ的根
∴cos（2π/7）=k
由于此时的余弦值为斜率（对比斜），若想变为正常的几何形态（邻比斜），需要进行转换处理：
原理
如何确定一个根一定是2/7π呢？
后一个问题只需要借助几何画板检验一下就行了。
前一个问题，对于根x=cosθ个数确定：
设三根x₁、x₂、x₃
则（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）=0
化简得：
x³
-（x₁+x₂+x₃）x²
+（x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃）x-x₁x₂x₃=0
∵8x³
+4x²
-4x-1=0
∴x₁+x₂+x₃＜0………………………………①
x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃＜0
x₁x₂x₃＞0…………………………………②
由①、②知，三根为两负根和一正根，
∴根x=cos（2/7π）＞0只有唯一解。
我们可以将尺规作图无精确画法的边角，以折纸的方式展现，将几何的内
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