届数学理一轮复习人教A版 第9讲对数与对数函数 学案文档格式.docx

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（a>

0,且a≠1,c>

0,且c≠1,b>

0）

推论:

lo

bn=　　　　,logab= 

2.对数函数的概念、图像与性质

函数y=logax（a>

0,a≠1）叫作　　　　函数 

底数

1

0<

a<

图像

定义域

（续表）

值域

过定点　　　　,即x=1时,y=0 

在区间（0,+∞）上

是　　　　函数 

3.反函数

指数函数y=ax（a>

0,且a≠1）与对数函数　　　　　　互为反函数,它们的图像关于直线　　　　对称. 

常用结论

1.互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称.

2.只有在定义域上单调的函数才存在反函数.

题组一　常识题

1.[教材改编]化简logablogbclogca的结果是　　　　. 

2.[教材改编]函数f（x）=log2（2-x）的定义域是　　　　. 

3.[教材改编]若函数y=f（x）是函数y=2x的反函数,则f

（2）=　　　　. 

4.[教材改编]函数y=lo

（x2-4x+5）的单调递增区间是　　　　. 

题组二　常错题

◆索引:

对数的性质及其运算掌握不到位;

忽略真数大于零致错;

不能充分运用对数函数的性质;

忽略对底数的讨论致误.

5.有下列结论:

①lg（lg10）=0;

②lg（lne）=0;

③若lgx=1,则x=10;

④若log22=x,则x=1;

⑤若logmn·

log3m=2,则n=9.其中正确结论的序号是　　　　　　. 

6.已知lgx+lgy=2lg（x-2y）,则

=　　　　. 

7.设a=

b=log9

c=log8

则a,b,c的大小关系是　　　　. 

8.若函数y=logax（a>

0,a≠1）在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a=　　　　. 

探究点一　对数式的化简与求值

例1

（1）[2018·

宿州质检]已知m>

0,n>

0,lo

（3m）+log2n=lo

（2m2+n）,则log2m-log4n的值为（　　）

A.-1B.1

C.-1或0D.1或0

（2）设2x=5y=m,且

+

=2,则m=　　　　. 

[总结反思]

（1）对数运算法则是在化为同底的情况下进行的,因此经常会用到换底公式及其推论.在对含有字母的对数式进行化简时,必须保证恒等变形.

（2）利用对数运算法则,在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化.

变式题

（1）[2018·

昆明一中模拟]设x,y为正数,且3x=4y,当3x=py时,p的值为（　　）

A.log34B.log43

C.6log32D.log32

（2）计算:

lg32+log416+6lg

-lg5=　　　　. 

探究点二　对数函数的图像及应用

例2

（1）函数f（x）=loga|x|+1（0<

1）的图像大致是（　　）

ABCD

图2-9-1

（2）[2018·

濮阳二模]设x1,x2,x3均为实数,且

=log2（x1+1）,

=log3x2,

=log2x3,则（　　）

A.x1<

x3<

x2

B.x3<

x2<

x1

C.x3<

x1<

D.x2<

x3

[总结反思]

（1）在研究对数函数图像时一定要注意其定义域,注意根据基本的对数函数图像作出经过平移、对称变换得到的函数的图像.

（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题,利用数形结合法求解.

变式题

（1）函数f（x）=ln（|x|-1）的大致图像是（　　）

图2-9-2

（2）若函数f（x）=log2（x+1）,且a>

b>

c>

0,则

的大小关系是（　　）

A.

>

>

B.

C.

D.

探究点三　解决与对数函数性质有关的问题

微点1　比较大小

例3

（1）[2018·

武汉4月调研]若实数a,b满足a>

1,m=loga（logab）,n=（logab）2,l=logab2,则m,n,l的大小关系为（　　）

A.m>

l>

nB.l>

n>

m

C.n>

mD.l>

m>

n

长沙雅礼中学期末]已知a=ln

b=lo

则（　　）

A.a+b<

ab<

0

B.ab<

a+b<

C.a+b<

ab

D.ab<

a+b

[总结反思]比较对数式的大小,一是将对数式转化为同底的形式,再根据对数函数的单调性进行比较,二是采用中间值0或1等进行比较,三是将对数式转化为指数式,再将指数式转化为对数式,通过巡回转化进行比较.

微点2　解简单对数不等式

例4

（1）[2018·

成都七中二诊]若实数a满足loga

1>

a,则a的取值范围是（　　）

B.

D.

（2）已知实数a>

0,且满足不等式33a+2>

34a+1,则不等式loga（3x+2）<

loga（8-5x）的解集为　　　　. 

[总结反思]对于形如logaf（x）>

b的不等式,一般转化为logaf（x）>

logaab,再根据底数的范围转化为f（x）>

ab或0<

f（x）<

ab.而对于形如logaf（x）>

logbg（x）的不等式,一般要转化为同底的不等式来解.

微点3　对数函数性质的综合问题

例5

（1）[2018·

丹东二模]若函数f（x）=

存在最小值,则a的取值范围为（　　）

A.（1,+∞）B.[3,+∞）

C.（1,3]D.（1,

]

（2）已知f（x）=lo

（x2-ax+3a）在区间[2,+∞）上为减函数,则实数a的取值范围是　　　　. 

[总结反思]利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:

一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;

二是底数与1的大小关系;

三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用.

应用演练

1.【微点3】若函数f（x）=a+log2x在区间[1,a]上的最大值为6,则a=（　　）

A.2B.4

C.6D.8

2.【微点1】[2018·

银川一中四模]设a=0.50.4,b=log0.40.3,c=log80.4,则a,b,c的大小关系是（　　）

A.a<

b<

cB.c<

a

C.c<

bD.b<

c<

3.【微点2】已知函数f（x）在区间[-2,2]上单调递增,若f（log2m）<

f[log4（m+2）]成立,则实数m的取值范围是（　　）

C.（1,4]D.[2,4]

4.【微点3】函数f（x）=log2（-x2+2x）的单调递减区间是　　　　. 

5.【微点3】已知函数f（x）=ln（

-x）+2,则f（lg3）+f

考试说明1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;

了解对数在简化运算中的作用.

2.对数函数

（1）理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点;

（2）知道对数函数是一类重要的函数模型;

（3）了解指数函数y=ax（a>

0,且a≠1）与对数函数y=logax（a>

0,且a≠1）互为反函数.

【课前双基巩固】

知识聚焦

1.对数　x=logaN　对数　0　N　logaM+logaN　logaM-logaN　nlogaM　

logab

2.对数　（0,+∞）　R　（1,0）　增　减

3.y=logax（a>

0,且a≠1）　y=x

对点演练

1.1　[解析]利用对数的换底公式可得结果为1.

2.（-∞,2）　[解析]由2-x>

0,解得x<

2,即函数f（x）的定义域为（-∞,2）.

3.1　[解析]函数f（x）=log2x,所以f

（2）=1.

4.（-∞,2）　[解析]因为0<

<

1,所以y=lo

x单调递减,而函数y=x2-4x+5>

0恒成立,且单调递减区间为（-∞,2）,所以函数y=lo

（x2-4x+5）的单调递增区间是（-∞,2）.

5.①②③④⑤　[解析]①lg10=1,则lg（lg10）=lg1=0;

②lg（lne）=lg1=0;

③底的对数等于1,则x=10;

④底的对数等于1;

⑤logmn=

log3m=

则

=2,即log3n=2,故n=9.

6.4　[解析]因为lgx+lgy=2lg（x-2y）,所以xy=（x-2y）2,即x2-5xy+4y2=0,解得x=y或x=4y.由已知得x>

0,y>

0,x-2y>

0,所以x=y不符合题意,当x=4y时,得

=4.

7.c>

b　[解析]a=

=log9

log8

=c,a=log9

log9

=b,所以c>

b.

8.2或

　[解析]分两种情况讨论:

（1）当a>

1时,有loga4-loga2=1,解得a=2;

（2）当0<

1时,有loga2-loga4=1,解得a=

.所以a=2或

.

【课堂考点探究】

例1　[思路点拨]

（1）先化为同底的对数,根据对数的运算法则得出m,n之间的关系,再代入求值.

（2）先反解x,y,再代入

=2,即可得m的值.

（1）C　

（2）

　[解析]

（1）因为lo

（3m）+log2n=log2（9m2）+log2n=log2（9m2n）,

（2m2+n）=log2（2m2+n）2,

所以9m2n=（2m2+n）2,

即4m4-5m2n+n2=0,解得4m2=n或m2=n,

所以log2m-log4n=log2m-log2

=log2

=-1或0.

（2）由2x=5y=m,得x=log2m,y=log5m,

再由

=2,得

=2,即logm2+logm5=2,

所以logm10=2,所以m=

.

变式题　

（1）C　

（2）1　[解析]

（1）令3x=4y=t,则x=log3t,y=log4t,由3x=py,得p=

=

=3log34=6log32,故选C.

（2）lg32+log416+6lg

-lg5=lg25+log442-6lg2-lg5=2-lg2-lg5=2-lg10=1.

例2　[思路点拨]

（1）由f（x）的性质及其图像过点（1,1）,（-1,1）得到答案;

（2）在同一坐标系内作出函数y=

与y=log2（x+1）,y=log3x,y=log2x的图像,根据图像得到交点,分析交点的横坐标进行大小比较.（