海淀区高三数学文期末试题及答案文档格式.docx

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解：

（Ⅰ）

的值是

.………………2分

.………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：

.

因为

，

所以

.………………7分

所以当

，即

时，

取得最大值

………………10分

当

取得最小值

.………………13分

（16）（共13分）

（Ⅰ）抽取的5人中男同学的人数为

，女同学的人数为

………………4分

（Ⅱ）记3名男同学为

，2名女同学为

.从5人中随机选出2名同学，所有可能的结果有

，共10个.

………………6分

用

表示：

“选出的两名同学中恰有一名女同学”这一事件，则

中的结果有6个，它们是：

.………………8分

所以选出的两名同学中恰有一名女同学的概率

.………………10分

（Ⅲ）

（17）（共14分）

证明：

（Ⅰ）在菱形

中，

∥

平面

所以

.………………3分

（Ⅱ）连接

在正方形

.

因为平面

，平面

，

.………………6分

在菱形

所以

四点不共面.理由如下：

………………11分

分别是

的中点，

同理可证：

所以平面

∥平面

四点不共面.………………14分

（18）（共13分）

（Ⅰ）由题意可知椭圆

的标准方程为：

，则

所以椭圆

的长轴长为

的离心率为

.………………4分

（Ⅱ）若

三点共线，由

是线段

的垂直平分线可得：

由（Ⅰ）可得

，设

.①

又因为

，②………………10分

由①②可得：

（舍），或

时，直线

的方程为

，显然满足题意.

所以存在直线

使得

三点共线，直线

（19）（共13分）

（Ⅰ）解：

.………………1分

因为切线

过原点

解得：

（Ⅱ）证明：

设

令

，解得

在

上变化时，

的变化情况如下表

-

+

↘

↗

所以当

.………………9分

（Ⅲ）解：

时，集合

的元素个数为0；

当

的元素个数为1；

的元素个数为2；

的元素个数为3.………………13分

（20）（共14分）

（Ⅰ）因为

因为

.………………2分

所以数列

是以1为首项，3为公差的等差数列.

.………………4分

（Ⅱ）若数列

是等比数列，则

由（Ⅰ）可得：

.………………6分

解得：

时，由

得：

显然，数列

是以1为首项，1为公比的等比数列.

.………………7分

（Ⅲ）当

时，由（Ⅱ）知：

，即数列

就是一个无穷等差数列.

时，可以得到满足题意的等差数列.

时，因为

所以数列

是以1为首项，

为公差的等差数列.

下面用反证法证明：

时，数列

中不能取出无限多项并按原来次序排列而成等差数列.

假设存在

，从数列

中可以取得满足题意的无穷等差数列，不妨记为

.设数列

的公差为

①当

是各项均为正数的递减数列.

，这与

矛盾.

②当

时，令

，解得：

恒成立.

必然是各项均为负数的递增数列.

综上所述，

是唯一满足条件的

的值.………………14分

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