浙江省中考数学《第22讲圆的基本性质》总复习讲解文档格式.docx

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圆的对称性

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过的直线．

c

圆是中心对称图形，对称中心为____________________.

圆心角、弧、弦之间的关系

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量，那么它们所对应的其余各组量也分别相等．

3.圆周角

圆周角的定义

顶点在圆上，并且都和圆相交的角叫做圆周角．

圆周角定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的．

推论1

同弧或等弧所对的圆周角．

推论2

半圆（或直径）所对的圆周角是；

90°

的圆周角所对的弦是．

推论3

圆内接四边形的对角．

4.点与圆的位置关系

位置关系

点在圆内

点在圆上

点在圆外

数量（d与r）的大小关系（设圆的半径为r，点到圆心的距离为d）

_________________

_____________

基本

思想

分类讨论思想：

在很多没有给定图形的题目中，常常不能根据题目的条件把图形确定下来，因此会导致解的不唯一性．对于这种多解题必须要分类讨论，分类时要注意标准一致，不重不漏．如：

圆周角所对的弦是唯一的，但是弦所对的圆周角不是唯一的．

方法

辅助线：

有关直径的问题，如图，常作直径所对的圆周角．

1．（2016·

绍兴）如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，

＝

，∠AOB＝60°

，则∠BDC的度数是（　　）

A．60°

B．45°

C．35°

D．30°

2．（2015·

宁波）如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝72°

，则∠BCO的度数为（　　）

A．15°

B．18°

C．20°

D．28°

3．（2017·

绍兴）如图，一块含45°

角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠DOE的度数为____________________．

第3题图　第4题图

4．（2017·

湖州）如图，已知在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径作半圆O，交BC于点D.若∠BAC＝40°

，则

的度数是____________________度．

【问题】如图，四边形ABCD内接于⊙O，CE是直径．

（1）观察图形，你能得到哪些信息？

（2）若∠ADC＝130°

，则∠B＝______，∠AOC＝______，

的度数为____；

（3）若AC＝6，AO＝5，则AE＝________．

【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理圆的有关性质，弦、弧、圆心角的关系定理及推论，圆周角定理，圆的内接四边形等．

类型一　圆的有关概念

　下列语句中，正确的是__________________．

①半圆是弧；

②长度相等的弧是等弧；

③相等的圆心角所对的弧相等；

④圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是对称轴；

⑤经过圆内一定点可以作无数条直径；

⑥三个点确定一个圆；

⑦直径是圆中最长的弦；

⑧一个点到圆的最小距离为6cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是1.5cm或7.5cm；

⑨⊙A的半径为6，圆心A（3，5），则坐标原点O在⊙A内．

【解后感悟】圆中相关概念经常会出现错误，需要辨析，如在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等．

1．

（1）A、B是半径为5cm的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是（　　）

　A．AB>

0B．0<

AB<

5C．0<

10D．0<

AB≤10

（2）下列说法中，正确的是（　　）

A．同一条弦所对的两条弧一定是等弧

B．相等圆周角所对弧相等

C．正多边形一定是轴对称图形

D．三角形的外心到三角形各边的距离相等

（3）（2017·

河北模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是____________________．

类型二　圆的内接多边形

　（2017·

陕西模拟）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F.

（1）若∠E＝∠F时，求证：

∠ADC＝∠ABC；

（2）若∠E＝∠F＝42°

时，求∠A的度数；

（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β.请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．

【解后感悟】本题主要考查圆内接四边形的对角互补；

圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．

2．

（1）（2015·

杭州）圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝70°

，则∠C＝（　　）

A．20°

B．30°

C．70°

D．110°

（2）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（　　）

A．45°

B．50°

C．60°

D．75°

（3）（2015·

南京）如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°

，则∠B＋∠E＝____________________.

类型三　圆心角与圆周角的关系

（1）如图，AB为⊙O的直径，诸角p，q，r，s之间的关系①p＝2q；

②q＝r；

③p＋s＝180°

中，正确的是（　　）

A．只有①和②B．只有①和③C．只有②和③D．①，②和③

（2）（2015·

台州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.

①若∠CBD＝39°

，求∠BAD的度数；

②求证：

∠1＝∠2.

【解后感悟】解题利用图形联想，揭示数量关系，如等腰三角形、圆周角定理、圆内接四边形等知识；

圆周角定理及其推论建立了圆心角、弦、弧、圆周角之间的关系，最终实现了圆中的角（圆心角和圆周角）的转化；

当图中出现同弧或等弧时，常常考虑到弧所对的圆周角或圆心角，“一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半”，通过弧把角联系起来．注意掌握数形结合思想的应用．

3．

（1）（2017·

衢州模拟）如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°

，则∠BCD等于____________________．

（2）（2017·

巴中模拟）如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连结AE，∠E＝36°

，则∠ADC的度数是____________________．

潍坊模拟）如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD.已知DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°

，则弦BC的弦心距等于____________________．

类型四　圆的综合运用

台州）如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．

（1）求证：

△APE是等腰直角三角形；

（2）若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．

【解后感悟】解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，注意数形结合的应用．

丽水）如图，在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.

∠A＝∠ADE；

（2）若AD＝16，DE＝10，求BC的长．

【探索研究题】

（2017·

杭州）如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB＝α，∠ACB＝β，∠EAG＋∠EBA＝γ，

（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：

α

30°

40°

50°

60°

β

120°

130°

140°

150°

γ

猜想：

β关于α的函数表达式，γ关于α的函数表达式，并给出证明；

（2）若γ＝135°

，CD＝3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．

【方法与对策】本题涉及圆周角定理，勾股定理，解方程，垂直平分线的性质等知识，这样要联想，并及时调整图形，揭示数量关系特征，从而解决问题，这是中考命题的热点．

【忽视圆周角顶点可能在优弧上，也可能在劣弧上】

一条弦的长度等于它所在的圆的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数是________．

参考答案

【考点概要】

1．等于　线段　弦　长　优弧、半圆、劣弧　等弧

2．圆心　圆心　相等　3.两边　一半　相等　直角　直径　互补　4.d＜r　d＝r　d＞r

【考题体验】

1．D　2.B　3.90°

　4.140

【知识引擎】

【解析】

（1）由圆心角、圆周角定理，圆的内接四边形可知：

∠B＝∠E＝

∠AOC,∠B＋∠D＝180°

，∠CAE＝90°

等；

（2）50°

，100°

，80°

；

　（3）8.

【例题精析】

例1　①④⑦⑧⑨　

例2　

（1）∠E＝∠F，∵∠DCE＝∠BCF，∴∠ADC＝∠E＋∠DCE，∠ABC＝∠F＋∠BCF，∴∠ADC＝∠ABC；

（2）由

（1）知∠ADC＝∠ABC，∵∠EDC＝∠ABC，∴∠EDC＝∠ADC，∴∠ADC＝90°

，∴∠A＝90°

－42°

＝48°

（3）连结EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD＝∠A，∵∠ECD＝∠1＋∠2，∴∠A＝∠1＋∠2，∵∠A＋∠1＋∠2＋∠E＋∠F＝180°

，∴2∠A＋α＋β＝180°

－

.　例3　

（1）A；

（2）①∵BC＝CD，∴

.∴∠BAC＝∠CAD＝∠CBD.∵∠CBD＝39°

，∴∠BAC＝∠CAD＝39°

.∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝78°

.②∵EC＝BC，∴∠CBE＝∠CEB，∵∠CBE＝∠1＋∠CBD，∠CEB＝∠2＋∠BAC，又∵∠BAC＝∠CBD，∴∠1＝∠2.

　例4　

（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°

，∴∠C＝∠ABC＝45°

，∴∠AEP＝∠ABP＝45°

，∵PE是直径，∴∠PAE＝90°

，∴∠APE＝∠AEP＝45°

，∴AP＝AE，∴△PAE是等腰直角三角形.

（2）作PM⊥AC于M，PN⊥AB于N，则四边形PMAN是矩形，∴PM＝AN，∵△PCM，△PNB都是等腰直角三角形，∴PC＝

PM，PB＝

PN，∴PC2＋PB2＝2（PM2＋PN2）＝2（AN2＋PN2）＝2PA2＝PE2＝22＝4.（也可以证明△ACP≌△ABE，△PBE是直角三角形）

【变式拓展】

1．

（1）D　

（2）C　（3）3<

r<

5　2.

（1）D　

（2）C（3）215°

　3.

（1）32°