高考第一轮复习数学71直线的方程Word文档下载推荐.docx
《高考第一轮复习数学71直线的方程Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考第一轮复习数学71直线的方程Word文档下载推荐.docx（26页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
●知识梳理
1.直线的倾斜角、斜率及直线的方向向量
（1）直线的倾斜角
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.
当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°
.
可见，直线倾斜角的取值范围是0°
≤α＜180°
（2）直线的斜率
倾斜角α不是90°
的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα（α≠90°
）.
倾斜角是90°
的直线没有斜率；
倾斜角不是90°
的直线都有斜率，其取值范围是（－∞，+∞）.
（3）直线的方向向量
设F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直线上不同的两点，则向量
=（x2－x1，y2－y1）称为直线的方向向量.向量
=（1，
）=（1，k）也是该直线的方向向量，k是直线的斜率.
（4）求直线斜率的方法
①定义法：
已知直线的倾斜角为α，且α≠90°
，则斜率k=tanα.
②公式法：
已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1≠x2，则斜率k=
③方向向量法：
若a=（m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率k=
平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率.
斜率的图象如下图.
对于直线上任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），当x1=x2时，直线斜率k不存在，倾斜角α=90°
；
当x1≠x2时，直线斜率存在，是一实数，并且k≥0时，α=arctank，k＜0时，α=π+arctank.
2.直线方程的五种形式
（1）斜截式：
y=kx+b.
（2）点斜式：
y－y0=k（x－x0）.
（3）两点式：
=
（4）截距式：
+
=1.
（5）一般式：
Ax+By+C=0.
●点击双基
1.直线xtan
+y=0的倾斜角是
A.－
B.
C.
D.
解析：
k=－tan
=tan（π－
）=tan
且
∈［0，π）.
答案：
D
2.过两点（－1，1）和（3，9）的直线在x轴上的截距是
B.－
D.2
求出过（－1，1）、（3，9）两点的直线方程，令y=0即得.
A
3.直线xcosα＋
y＋2＝0的倾斜角范围是
A.［
，
）∪（
］
B.［0，
］∪［
，π）
C.［0，
D.［
设直线的倾斜角为θ，
则tanθ=－
cosα.又－1≤cosα≤1，
∴－
≤tanθ≤
.∴θ∈［0，
，π）.
B
4.直线y=1与直线y=
x+3的夹角为___________.
解法一：
l1：
y=1与l2：
y=
x+3的斜率分别为k1=0，k2=
.由两直线的夹角公式得tanα=｜
｜=
，所以两直线的夹角为60°
解法二：
l1与l2表示的图象为（如下图所示）y=1与x轴平行，y=
x+3与x轴倾斜角为60°
，所以y=1与y=
x+3的夹角为60°
60°
5.下列四个命题：
①经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0=k（x－x0）表示；
②经过任意两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（x2－x1）（x－x1）=（y2－y1）（y－y1）表示；
③不经过原点的直线都可以用方程
+
=1表示；
④经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示.其中真命题的个数是
A.0B.1C.2D.3
对命题①④，方程不能表示倾斜角是90°
的直线，对命题③，当直线平行于一条坐标轴时，则直线在该坐标轴上截距不存在，故不能用截距式表示直线.只有②正确.答案：
●典例剖析
【例1】已知△ABC的三个顶点是A（3，－4）、B（0，3）、C（－6，0），求它的三条边所在的直线方程.
剖析：
一条直线的方程可写成点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式等多种形式.使用时，应根据题目所给的条件恰当选择某种形式，使得解法简便.由顶点B与C的坐标可知点B在y轴上，点C在x轴上，于是BC边所在的直线方程用截距式表示，AB所在的直线方程用斜截式的形式表示，AC所在的直线方程利用两点式或点斜式表示均可，最后为统一形式，均化为直线方程的一般式.
解：
如下图，因△ABC的顶点B与C的坐标分别为（0，3）和（－6，0），故B点在y轴上，C点在x轴上，即直线BC在x轴上的截距为－6，在y轴上的截距为3，利用截距式，直线BC的方程为
=1，
化为一般式为x－2y+6=0.
由于B点的坐标为（0，3），故直线AB在y轴上的截距为3，利用斜截式，得直线AB的方程为y=kx+3.
又由顶点A（3，－4）在其上，所以－4=3k+3.故k=－
于是直线AB的方程为y=－
x+3，化为一般式为7x+3y－9=0.
由A（3，－4）、C（－6，0），
得直线AC的斜率kAC=
=－
利用点斜式得直线AC的方程为
y－0=－
（x+6），
化为一般式为4x+9y+24=0.
也可用两点式，得直线AC的方程为
=
再化简即可.
评述：
本题考查了求直线方程的基本方法.
【例2】已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P（2，3），求过两点Q1（a1，b1）、Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程.
利用点斜式或直线与方程的概念进行解答.
∵P（2，3）在已知直线上，
∴
2a1+3b1+1=0，
2a2+3b2+1=0.
∴2（a1－a2）+3（b1－b2）=0，即
∴所求直线方程为y－b1=－
（x－a1）.
∴2x+3y－（2a1+3b1）=0，即2x+3y+1=0.
此解法运用了整体代入的思想，方法巧妙.
思考讨论
依“两点确定一直线”，那么你又有新的解法吗？
提示：
由
2a1+3b1+1=0，
2a2+3b2+1=0，
知Q1、Q2在直线2x+3y+1=0上.
【例3】一条直线经过点P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程：
（1）倾斜角是直线x－4y+3=0的倾斜角的2倍；
（2）与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小（O为坐标原点）.
（2）将面积看作截距a、b的函数，求函数的最小值即可.
（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则θ＝2α，且tanα＝
，tanθ＝tan2α＝
从而方程为8x－15y+6=0.
（2）设直线方程为
＋
＝1，a＞0，b＞0，代入P（3，2），得
＝1≥2
，得ab≥24，
从而S△AOB＝
ab≥12，
此时
＝
，∴k＝－
＝－
∴方程为2x+3y－12=0.
此题
（2）也可以转化成关于a或b的一元函数后再求其最小值.
深化拓展
若求|PA|·
|PB|及|OA|+|OB|的最小值，又该怎么解呢？
可类似第
（2）问求解.
●闯关训练
夯实基础
1.直线x－2y+2k=0与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1，那么k的范围是
A.k≥－1
B.k≤1
C.－1≤k≤1且k≠0
D.k≤－1或k≥1
令x=0，得y=k；
令y=0，得x=－2k.∴三角形面积S=
｜xy｜=k2.
又S≤1，即k2≤1，
∴－1≤k≤1.
又∵k=0时不合题意，故选C.
C
2.（2004年湖南，2）设直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+cosα=0，则a、b满足
A.a+b=1B.a－b=1C.a+b=0D.a－b=0
0°
，又sinα+cosα=0，α=135°
，∴a－b=0.
3.（2004年春季北京）直线x－
y+a=0（a为实常数）的倾斜角的大小是____________.
k=
，即tanα=
∴α=30°
30°
4.（2005年北京东城区目标检测）已知直线l1：
x－2y+3=0，那么直线l1的方向向量a1为____________（注：
只需写出一个正确答案即可）；
l2过点（1，1），并且l2的方向向量a2与a1满足a1·
a2=0，则l2的方程为____________.
由方向向量定义即得a1为（2，1）或（1，
a1·
a2=0，即a1⊥a2.
也就是l1⊥l2，即k1·
k2=－1.
再由点斜式可得l2的方程为2x+y－3=0.
（2，1）或（1，
）2x+y－3=0
5.已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为
，求直线l的方程.
设所求直线l的方程为y=kx+b.
∵k＝6，∴方程为y=6x+b.
令x=0，∴y=b，与y轴的交点为（0，b）；
令y=0，∴x=－
，与x轴的交点为（－
，0）.
根据勾股定理得（－
）2＋b2＝37，
∴b＝±
6.因此直线l的方程为y=6x±
6．
设所求直线为
=1，则与x轴、y轴的交点分别为（a，0）、（0，b）.
由勾股定理知a2＋b2＝37.
又k=－
=6，
解此方程组可得
∴
a2＋b2＝37，
－
=6.
或
a＝1，a＝－1，
b＝－6b＝6.
因此所求直线l的方程为x+
=1或－x+
=1，即6x－y±
6＝0．
6.在△ABC中，已知点A（5，－2）、B（7，3），且边
升级会员 