高中数学第一章计数原理13第1课时组合与组合数公式学案苏教版选修231031383文档格式.docx

高中数学第一章计数原理13第1课时组合与组合数公式学案苏教版选修231031383文档格式.docx

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C＝________________________

公式

阶乘形式

C＝________________

性质

C＝________

C＝________＋________

备注

①n，m∈N*且m≤n；

②规定C＝________

类型一　组合概念的理解

例1　判断下列各事件是排列问题还是组合问题．

（1）8个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？

（2）8个朋友相互各写一封信，一共写了多少封信？

（3）从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？

（4）从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样的集合有多少个？

反思与感悟　判断一个问题是否是组合问题的流程

跟踪训练1　给出下列问题：

（1）从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？

（2）从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？

（3）a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？

（4）a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？

在上述问题中，________是组合问题，________是排列问题．

类型二　组合的列举问题

引申探究

若将本例中的a，b，c，d，e看作铁路线上的5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？

多少种票价？

例2　从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，列出所有的组合为________________________________________________________________________．

反思与感悟　借助“字典排序法”列出一个具体问题的组合，直观、简洁，而且避免了重复或遗漏，但需注意：

若用“树状图法”，当前面的元素写完后，后面不能再出现该元素，这是与排列问题的一个不同之处．

跟踪训练2　写出从A，B，C，D，E5个元素中，依次取3个元素的所有组合．

类型三　组合数公式及性质的应用

例3　

（1）计算C－C·

A；

（2）求证：

C＝C.

反思与感悟　

（1）涉及具体数字的可以直接用公式C＝＝计算．

（2）涉及字母的可以用阶乘式C＝计算．

（3）计算时应注意利用组合数的两个性质：

①C＝C.②C＝C＋C.

跟踪训练3　

（1）计算C＋C＝________.

（2）计算C＋C＋C＋…＋C的值为________．

例4　

（1）已知－＝，求C＋C；

（2）解不等式：

C>

C.

反思与感悟　

（1）解答此类题目易出现忽略根的检验而产生增根的错误，并且常因忽略n∈N*而导致错误．

（2）与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C中的m∈N*，n∈N*，且n≥m确定m、n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．

跟踪训练4　解方程3C＝5A.

1．给出下列问题：

①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？

②有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？

③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？

其中组合问题的个数是________．

2．集合M＝{x|x＝C，n≥0且n∈N}，集合Q＝{1,2,3,4}，则M∩Q＝________.

3．满足方程Cx2－x16＝C的x值为________．

4．不等式C<

C的解集为________．

5．从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．（用数字作答）

1．排列与组合的联系与区别

（1）联系：

二者都是从n个不同的元素中取m（m≤n）个元素．

（2）区别：

排列问题中元素有序，组合问题中元素无序．

2．关于组合数的计算

（1）涉及具体数字的可以直接用公式C＝＝计算．

答案精析

问题导学

知识点一

思考　①是排列，①中选取的两个数是有序的，②中选取的两个数是无序的．

梳理　并成一组

知识点二

思考1　A＝4×

3＝12.

思考2　第1步，从这四个数中任取两个数，有C种方法；

第2步，将每个组合中的两个数排列，有A种排法．由分步计数原理，可得商的个数为CA＝12.

思考3　因为A＝CA，所以C＝＝6.

梳理　所有组合的个数　C　　　C　C　C　1

题型探究

例1　解　

（1）每两人握手一次，无顺序之分，是组合问题．

（2）每两人相互写一封信，是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的．

（3）是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数．

（4）是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其构成的集合都不变．

跟踪训练1　

（1）（3）　

（2）（4）

解析　

（1）2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．

（2）2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．

（3）单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．

（4）冠亚军是有顺序的，是排列问题．

例2　ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de

解析　要想列出所有组合，做到不重不漏，先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个地标示出来．如图所示．

解　因为“a站到b站”与“b站到a站”车票是不同的，故是排列问题，有A＝20（种）．但票价与顺序无关，“a站到b站”与“b站到a站”是同一种票价，故是组合问题，因为“a站到b站”与“b站到a站”车票是不同的，但票价一样，所以票价的种数是车票种数的一半，故共有×

20＝10（种）不同的票价．

跟踪训练2　解　所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.

例3　

（1）解　原式＝C－A

＝－7×

6×

5

＝210－210＝0.

（2）证明　因为右边＝C

＝·

＝＝C，

左边＝C，所以左边＝右边，所以原式成立．

跟踪训练3　

（1）5150　

（2）C－1

解析　

（1）C＋C＝C＋C

＝＋200＝5150.

（2）C＋C＋C＋…＋C

＝C＋C＋C＋C＋…＋C－C

＝C＋C＋…＋C－1＝…

＝C＋C－1＝C－1.

例4　解　

（1）∵－＝，

∴－

＝，

即－

＝.

∴1－＝，

即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或21.

∵0≤m≤5，∴m＝2，

∴C＋C＝C＋C＝C＝84.

（2）由C>

C，得

⇒⇒

又n∈N*，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．

跟踪训练4　解　原式可变形为3C＝5A，

即

＝5（x－4）（x－5），

所以（x－3）（x－6）＝5×

4×

2＝8×

5.

所以x＝11或x＝－2（舍去负根）．

经检验符合题意，所以方程的解为x＝11.

当堂训练

1．2　2.{1,4}　3.1或3　4.{3,4,5,6,7}

5．140

精美句子

1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；

读太阳，读出了它普照万物的无私；

读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；

幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 

幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；

幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；

幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：

从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；

从归雁的行列中，我读出了集体的力量；

从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；

从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；

从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！

当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！

当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！

当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！

当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！

你燃烧自己后，贡献就大了

6、朋友是什么？

朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；

朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；

朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；

青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；

青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；

青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。

4、