版高考数学文高分计划一轮狂刷练第5章数列 54a Word版含答案解析Word下载.docx
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B.
C.7D.
答案 D
解析
.故选D.
4.已知函数f(n)=
且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于( )
A.0B.100C.-100D.102
解析 由题意,得a1+a2+…+a100=12-22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002-1002+1012=-(1+2)+(3+2)-…-(99+100)+(101+100)=100.故选B.
5.已知数列{an}满足an+1=
+
,且a1=
,则该数列的前2018项的和等于( )
A.1512B.1513C.1513.5D.2018
答案 C
解析 因为a1=
,又an+1=
,
所以a2=1,从而a3=
,a4=1,
即得an=
故数列的前2018项的和S2018=1009×
=1513.5.故选C.
6.在数列{an}中,已知对任意n∈N*,a1+a2+a3+…+an=3n-1,则a
+a
+…+a
等于( )
A.(3n-1)2B.
(9n-1)
C.9n-1D.
(3n-1)
解析 因为a1+a2+…+an=3n-1,所以a1+a2+…+an-1=3n-1-1(n≥2).则n≥2时,an=2×
3n-1.
当n=1时,a1=3-1=2,适合上式,所以an=2×
3n-1(n∈N*).则数列{a
}是首项为4,公比为9的等比数列.故选B.
7.设直线nx+(n+1)y=
(n∈N*)与两坐标轴围成的三角形面积为Sn,则S1+S2+…+S2017的值为( )
C.
D.
解析 直线与x轴交于
,与y轴交于
,∴Sn=
·
.
∴原式=
+…+
=1-
8.已知{an}为等比数列,Sn是它的前n项和.若a3a5=
a1,且a4与a7的等差中项为
,则S5等于( )
A.35B.33C.31D.29
解析 设等比数列{an}的公比是q,所以a3a5=a
q6=
a1,得a1q6=
,即a7=
.又a4+a7=2×
,解得a4=2,所以q3=
,所以q=
,a1=16,故S5=
=31.故选C.
9.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,则下列说法中一定成立的是( )
A.若a3>
0,则a2017<
0B.若a4>
0,则a2018<
C.若a3>
0,则S2017>
0D.若a4>
0,则S2018>
解析 等比数列{an}的公比q≠0.对于A,若a3>
0,则a1q2>
0,所以a1>
0,所以a2017=a1q2016>
0,所以A不成立;
对于B,若a4>
0,则a1q3>
0,所以a1q>
0,所以a2018=a1q2017>
0,所以B不成立;
对于C,若a3>
0,则a1=
>
0,所以当q=1时,S2017>
0,当q≠1时,S2017=
0(1-q与1-q2017同号),所以C一定成立,易知D不一定成立.故选C.
10.(2017·
江西九校联考)已知数列{an}是等比数列,数列{bn}是等差数列,若a1·
a6·
a11=3
,b1+b6+b11=7π,则tan
的值是( )
A.1B.
C.-
D.-
解析 {an}是等比数列,{bn}是等差数列,且a1·
,b1+b6+b11=7π,∴a
=(
)3,3b6=7π,∴a6=
,b6=
,∴tan
=tan
=-tan
=-
二、填空题
11.Sn=1+11+111+…+
=________.
答案
12.数列{an}满足:
a1=
,且an+1=
(n∈N*),则
答案 2017
解析 由题意可知
⇒
-1=
,又
-1=-
,所以数列
是以-
为首项,以
为公比的等比数列,所以
所以
=n-
则
=2018-
×
=2017
13.设f(x)=
,利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法,可求得f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为________.
答案 3
解析 ∵6+(-5)=1,∴f(-5),f(-4),…,f(5),f(6)共有11+1=12项.
由f(-5),f(6);
f(-4),f(5);
…;
f(0),f
(1)共有6对,且该数列为等差数列.
又f(0)+f
(1)=
∴f(-5)+f(-4)+…+f(6)=6×
=3
14.已知数列{an}的各项均为正整数,其前n项和为Sn,若an+1=
且S3=10,则S2016=________.
答案 6720
解析 当a1为奇数时,a2=
,此时若a2为奇数,则a3=
,∴S3=a1+
=10,解得a1=5,此时数列{an}为5,3,2,5,3,2,….当a1为奇数时,a2=
,此时若a2为偶数,则a3=3a2-1=
∴S3=a1+
=3a1+1=10,解得a1=3,此时数列{an}为3,2,5,3,2,5,….当a1为偶数时,a2=3a1-1,此时a2为奇数,则a3=
,∴S3=a1+3a1-1+
a1-1=10,解得a1=2,此时数列{an}为2,5,3,2,5,3,….上述三种情况中,数列{an}均为周期数列.
∵672×
3=2016,∴S2016=672S3=6720.
B级
三、解答题
15.已知Sn是数列{an}的前n项和,且满足Sn-2an=n-4.
(1)证明:
{Sn-n+2}为等比数列;
(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.
解
(1)证明:
由题意知Sn-2(Sn-Sn-1)=n-4(n≥2),即Sn=2Sn-1-n+4,
所以Sn-n+2=2[Sn-1-(n-1)+2],
又易知a1=3,所以S1-1+2=4,
所以{Sn-n+2}是首项为4,公比为2的等比数列.
(2)由
(1)知Sn-n+2=2n+1,
所以Sn=2n+1+n-2,
于是Tn=(22+23+…+2n+1)+(1+2+…+n)-2n=
-2n=
16.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足a
=2Sn+n+4,a2-1,a3,a7恰为等比数列{bn}的前3项.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)若cn=
,求数列{cn}的前n项和Tn.
解
(1)因为a
=2Sn+n+4,所以a
=2Sn-1+n-1+4(n≥2),两式相减得a
-a
=2an+1,所以a
=a
+2an+1=(an+1)2,
所以an+1-an=1.
又a
=(a2-1)a7,所以(a2+1)2=(a2-1)(a2+5),解得a2=3,又a
=2a1+1+4,所以a1=2,所以{an}是以2为首项,1为公差的等差数列,所以an=n+1.故b1=2,b2=4,b3=8,所以bn=2n.
(2)由
(1)得,cn=
故Tn=c1+c2+…+cn=
设Fn=
Fn=
,作差得
所以Fn=2-
设Gn=
,所以Tn=2-
17.(2017·
山东高考)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn.已知S2n+1=bnbn+1,求数列
的前n项和Tn.
解
(1)设{an}的公比为q,
由题意知a1(1+q)=6,a
q=a1q2,
又an>
0,由以上两式联立方程组解得a1=2,q=2,
所以an=2n.
(2)由题意知
S2n+1=
=(2n+1)bn+1,
又S2n+1=bnbn+1,bn+1≠0,
所以bn=2n+1.
令cn=
,则cn=
因此Tn=c1+c2+…+cn
又
Tn=
两式相减得
所以Tn=5-
18.在等比数列{an}中,a1>
0,n∈N*,且a3-a2=8,又a1,a5的等比中项为16.
(2)设bn=log4an,数列{bn}的前n项和为Sn,是否存在正整数k,使得
<
k对任意n∈N*恒成立,若存在,求出正整数k的最小值;
若不存在,请说明理由.
解
(1)设数列{an}的公比为q,由题意可得a3=16,
a3-a2=8,则a2=8,q=2,a1=4,所以an=2n+1.
(2)bn=log42n+1=
Sn=b1+b2+…+bn=
当n=1时,
=1<
2<
;
当n≥2时,
3.
故存在k=3时,对任意的n∈N*都有