平差系统的模型误差及其识别方法研究精Word下载.docx
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尔可夫$模型&
即&
@T%
+#
式中&
%中参数!
的@为多选的参数#设原模型$#
估计方差为-由模型$求得的参数为）估））G%!
U&
#&
$）
计方差为-经推导（可得"
））!
UU
%!
S（!
+R$
$%#$%$$%!
$M
-!
5!
0#"
%的误差方程为"
/$Y"
#式$#（%
）+!
#!
M%
具有最优无!
最小二乘平差参数!
的估值）$$Z偏性&
单位权方差&
具有无偏性和渐进"
的估值&
最优性#这些良好的统计性质都是基于模型误差由于种种不显著的情况#但在实际平差系统中&
原因&
如非线性观测方程的线性化&
未顾及或近似考虑某种系统误差的影响&
观测值的先验协方差阵不尽合理等原因&
都会造成函数模型和随机模型产生误差#建模近似在回归拟合模型中更为突出&
因此&
研究模型误差理论和识别补偿的方法&
是平差系统的最优建模和参数估计的实际最优化的前提&
具有理论和现实意义#
$%D
即此时的参数估计）!
U仍具有无偏性#）!
U的方差大于）所估参数精度降低&
而单位权方!
的方差&
差估计无偏#
当参数个数选得不足时&
由文献（可知&
所#）估参数有偏差&
大小与少选的参数有关&
单位权方差还有偏&
而且偏大#
X"
随机模型不完善时参数的估计性质
随机模型不完善可归结为定权不正确#由式
$[#
$%知&
权的正确值应为0Y&
现定权为2&
$&
-$）由此所得参数!
的估值为）其统计性质为（"
）$%/$!
2%!
A
$$））））+3-3-!
%,+UU
只有当@Y"
时才取等号&
同时有"
$$）Z/$:
$!
U%!
%"
$%%
2%,2$!
%2$
N$$Z%/$/!
:
即此时单位权方差有偏#
$%B$%C
模型误差若干理论问题
X!
函数模型不完善时参数的估计性质
函数模型不完善或者说存在函数模型误差&
可理解为所建模型的参数个数过多或不足#当参数个数选得过多时&
原模型$%将改为"
#
X#!
函数模型误差和随机模型误差的相互转化
设&
%*$%相应的误差方程及权阵@T模型$#$为"
S?
@S（
收稿日期"
%@"
B@"
##
$%G
（（+）（#）%）
）!
M
%#
0!
（
0#
0$
）$
万方数据项目来源"
武汉大学地球空间环境与大地测量教育部重点实验室开放研究基金资助项目$%#C"
%$AD"
#@"
G@#"
BCB
假设权阵0函数模型正确"
则其误0"
$存在误差$差方程及权阵为#!
$$+H%$#%%%
’?
@MA#B*!
6（
可见"
模型偏差是由模型误差@和观测误差两部分的共同影响所致的）
如果不存在模型误差"
即@Y"
则有#
’!
M）#C!
MA*!
）此时"
模型偏差*就是由#!
估计#!
所产生的
+H#
HM
0H!
00$S$
’##
在文献$中"
转化为权阵!
%I,/Ra,+V将模型&
##’即仍为0"
而函数模型中部分观测值%无误差"
$存在误差$相应的误差方程为#%"
）亦即A真误差"
+Y#!
的真误%Y%b（是平差值）差）
+%!
$%#
%S$%%"
#$
’如果满足条件#
H#!
H$!
+$S$%&
’则模型&
##’（&
#$’的平差结果相同"
从而可建立0与$%间的关系式）I,/Ra,+V$!
按条件平差法（
陶本藻$G%
按间接
平差推导了$0与$%间的关系式"
其结果为#0$$%!
M$#$&
#N
0#’M
##$N
S$
0M
#%M#+$!
#G’或
$#$&
##$
N
S$0M
#%0$$
M+$&
#%’式中"
+$由式&
#"
’计算）式&
#G’可用来表示函数模型误差$%与随机模型误差$0间的相互转化）其涵义是#定权如果不正确"
相当于观测值中存在附加误差"
反之亦然）
实际上"
平差系统中的模型误差是函数模型误差和随机模型误差的综合"
两者难以区分"
因此"
平差系统模型误差的识别和补偿也应综合考虑）
估计和识别模型误差的理论基础
公式
平差系统的实际模型是&
#’（&
$’"
其中!
的最小二乘估计为）!
当存在模型误差@时"
理论模型为&
G’（&
$’）设两个函数模型的偏差为*"
*!
M）!
’S?
@&
#D’将式&
G’代入式&
#D
’"
得#!
M#4M##N0&
@S（’S?
@!
#A’!
令
A!
#4M##N0"
6!
MA!
5M#4M##N’0!
5++
0则有#万方数据
根据带权均方误差的定义式$%%&
CB表示B的
真值’#
T4P0&
B’!
/*&
BMCB’N0&
BMCB’+!
+3&
-B
0’S&
BMCB’可以估计*的精确度）将式&
#B
’代入上式得#T4P0&
*’!
A-AN0’S&
6?
@’N
06?
’因为
A-AN0’!
AA’!
A’!
4M#4’!
R&
$#’@N?
N6N06?
@N?
N05++
0?
$$
’所以式&
’可变为#T4P0&
N05++0?
@SR&
式&
#B’和式&
’是存在函数模型误差的情况下"
实际模型与理论模型的偏差及其带权均方误差的理论公式"
也是识别和估计模型误差的基础公式）
模型误差影响项的估计
将式&
G’代入原模型&
#’得误差方程&
’为#+!
#4M##NM5’0%!
M5++
0&
@S（’或
+!
M6?
@S6（
$G’式中顾及了6Y5++0和6#Y"
）残差平方和的期望为#
/&
+N0+’!
N6N0?
@’S/&
（N6N
06（’!
（N
05++
0（’&
$%’根据二次型期望公式"
进一步有#&
05++0（’!
05++0-（’!
05++’!
+MR’!
$D’这样"
由式&
$%
’可得模型误差影响项的估值为#&
N0B5++0?
@’估!
+N0+M&
+MR’&
$A’!
模型误差的识别
$A
’看出"
模型误差@及其影响项的大$
*/$
期!
张朝玉等!
BCC
小取决于由实际模型求得的残差平方和+N0+与其理论残差平方和之差"
当检验:
f实@Y"
时"
际上就是通常采用的验前和验后方差的一致性验
$或称平差模型的正确性验证"
即用.为检验证"
TU!
.!
%$
G#G!
X$
Y#"
统计量!
$N$$
#$%+&
+R"
.M.!
+0
检验的拒绝域为!
$%$B
#X#G!
接受域为$%&
#XDC"
#DX"
’Y"
X
由此可见"
此例无模型误差&
$%"
%$CR.）.M$+
式$%是这种检验的根据&
也可将式$%中模型误差与观测误差影响项$!
的大小直接进行比较"
并令
$B++$%估#T@N?
N0@%R!
5"
U!
此比值可认为是在单位权尺度下模型误差平方的
结!
语
%平差系统模型误差是指函数模型误差与#
随机模型误差的综合"
两者可以相互转化&
%对于每一个平差系统"
应该识别是否存在$
模型误差"
只有在模型误差不显著的情况下"
平差值才具有最好的统计性质&
%当平差系统存在模型误差时"
应选择其模!
型偏差的均方误差为最小的平差模型&
%本文给出的估计和识别模型误差的理论G
基础公式$%）估计公式$%）检验公式$%都是$!
$A!
模型误差不参与平差时得出的"
这是与现有文献解决同类问题不同的一种思路和方法"
值得研究&
参!
考!
文!
献
N*（Fc=N7’（32T（0’<
P33（3.*/01+.H<
-*+,（/:
（]]
/E36.+*<
M’2（3）*+,（/=E36.+*<
M’2（3）*+,（/*/0"
$增刊%!
P*3+76*R’#CC##"
BW
N*（Fc=4+*+,.+,-H/*<
.,.（24639’,/*+*=F’,@:
^M
/J3’..（24639’,//0T*,/#CC$_^:
^*]]^
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’3.7,’0’/’3&
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’,-76/.’3’’U/<
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F’,,/H-+*&
’（0*’+,-*’+E*3+（3*7,-*4,/,-*#CC$_^^]$%$
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3（624639’,/06.+）’/+=P33（3N7’（@_]（:
^H_
3/0‘6/0*）’/+（24639’,/06.+）’/+=567*/:
*:
^H_"
567*/8/,9’3.,+3’..$"
J
第一作者简介!
张朝玉"
博士生"
讲师&
现从事测量数据处理研究&
P@）*,<
-7V7*/=a76=’06=-/&
.:
^^^
平均数"
所以TU可认为是模型误差与其观测值精度的平方比值"
T"
C&
U的限值一般可取G
最优模型的选取及应用示例
通过对平差系统模型误差的检验"
取模型误差不显著的模型为最优模型"
这是估计参数具有最好统计性质的基本条件&
对于许多非确定性函如回归拟合模型"
模型误差不可避免"
实数模型"
用上"
就应选择其模型偏差的均方误差为最小的模型&
以测边网坐标平差为例"
其数据及平差结果见文献’（&
该例中"
））&
Y
%按式$%计算模型误差的影响项!
#$A
$B++%!
X@N?
N00?
XD%BM"
X##!
MBD"
BY$5按式$%计算得!
#$%!
AXTXD"
BBY"
X#DU!
%按式$%得!
$B!
#D%B"
D%XB.!
XB$#"
#$XB’Y"
按#%可以认为模型误差不显著"
但$%的结论相反"
从实际数据分析"
前者可信&
%（以导线网间接平差为例’"
可算得!
=+A0.G-0）5’88-8-（>
0A7+I）.+=7+）I/.0E+7E0）.+,（,）0G）+4-02-;
2
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A1-6##$!
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