高二下学期第一次模块检测数学理试题 含答案Word文件下载.docx
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的斜率为
，那么
B．8C．
D．16
7.利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥
，其中底面四边形
是边长为1的正方形，
，且
平面
，则球体毛坯体积的最小值应为（）
8.已知
为
上的连续可导函数，且
，则函数
的零点个数为（）
A．0B．1C．2D．不能确定
9.已知
是球面上的五个点，其中
在同一圆周上，若
不在
所在的圆周上，则从这五个点的任意两点的连线中取出2条，这两条直线是异面直线的概率是（）
10.已知集合
，在集合
中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为
，现将组成
的三个数字按从小到大排成的三位数记为
，按从大到小排成的三位数记为
（例如
），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个
，则输出
A．792B．693C．594D．495
11.已知
为双曲线的左、右焦点，
为双曲线左支上任意一点，以
为圆心，
为半径的圆与以
为半径的圆相切，则双曲线的离心率为（）
B．2C．3D．4
12.已知
，对任意的
，存在实数
满足
，使得
的最大值为（）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.已知随机变量
__________.
14.若
的展开式所有的系数之和为81，则直线
与曲线
所围成的封闭区域面积为__________.
15.已知双曲线
的离心率为2，左、右焦点为
，点
在
上，若
16.已知
的最小值为__________.
三、解答题（本大题共6小题，满分70分）
17.（本小题满分12分）已知点
且点
的坐标为
.
（1）求过点
的直线
的方程；
（2）试用数学归纳法证明：
对于
都在
（1）中的直线
上.
18.（本小题满分12分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30名女20名），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答，选题情况如下表：
（单位：
人）
几何题
代数题
总计
男同学
22
8
30
女同学
12
20
50
（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5-7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6-8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率.
（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两名女生被抽到的人数为
，求
的分布列及数学期望
附表及公式
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19.（本小题满分12分）如图，在三棱椎
中，侧棱
底面
分别是线段
的中点，过线段
的中点
作
的平行线，分别交
于点
（1）证明：
；
（2）求二面角
的余弦值.
20.（本小题满分12分）如图，已知椭圆
的右焦点为
分别是椭圆
的上、下顶点，点
是直线
上的一个动点（与
轴交点除外），直线
交椭圆于另一点
（1）当直线
过椭圆的右焦点
时，求
的面积；
（2）记直线
的斜率分别为
，求证：
为定值.
21.（本小题满分12分）已知函数
在其定义域内有两个不同的极值点.
（1）求
的取值范围；
（2）记两个极值点分别为
，已知
，若不等式
恒成立，求
的范围.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：
几何证明选讲
如图，
是
外一点，
是切线，
为切点，割线
与
相交于点
的中点，
的延长线交
证明：
（1）
（2）
23.（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，以原点为
极点，以
轴正半轴为极轴，圆
的极坐标方程为
（1）将圆
的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）过点
作斜率为1直线
与圆
交于
两点，试求
的值.
24.本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲
已知函数
（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）若
对
恒成立，求实数
的取值范围.
长郡中学2015-2016学年度高二第二学期第一次模块检测
数学（理科）
一、选择题
1-5DCDDD6-10BDADD11-12BB
二、填空题
13.0.614.
15.
16.
三、解答题
17.【解析】
（1）由
知
∴
∴点
∴直线
的方程为
（2）证明：
①当
时，
成立.
②假设当
∴当
时，命题也成立.
由①②知，对于
，都有
即点
在直线
18.【解析】
（1）由表中数据得
的观测值
所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关.
（2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为
分钟，则基本事件满足的区域为
（如图所示）
设事件
为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为
∴由几何概型
即乙比甲先解答完的概率为
（3）由题可知从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有
种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有
种；
恰有一人被抽到有
两人都被抽到有
种.
可能取值为
的分布列为：
1
2
19.【解析】
因为
的中点，所以，
分别为
的中点，所以
所以
，所以
又因为
在平面
内，且
相交，
（2）设
，如图，过
平行于
，以
为坐标原点，分别以
的方向为
轴，
轴的正方向，建立空间直角系
（点
与点
重合）.
则
故
设平面
的法向量为
，即
，故有
从而
，取
是平面
的一个法向量.
设二面角
的平面角为
，又
为锐角，
故二面角
的余弦值为
20.【解析】
（1）由题意
，焦点
，当直线
时，则直线
联立，
，解得
，或
（舍），即
连
，则直线
：
而
则直线
联立
，化简得
解得
21.【解析】
（1）依题，函数
的定义域为
所以方程
有两个不同根，
即，方程
有两个不同根.
转化为，函数
与函数
的图角在
上有两个不同交点，
可见，若令过原点且切于函数
图象的直线斜率为
只须
令切点
解得，
，于是
（2）因为
等价于
由
（1）可知
分别是方程
的两个根，
即
所以原式等价于
又由
，作差得，
，原式恒成立，即
恒成立.
令
则不等式
上恒成立.
又
当
时，可见
上单调增，又
恒成立，符合题意.
时单调增，在
时单调减，又
上不能恒小于0，不符合题意，舍去.
综上所述，若不等式
恒成立，只须
22.证明：
（1）连接
，由题设知
，故
且
（2）由切割线定理得
由相交弦定理得
23.【解析】
，可得
，∴
作斜率为
的参数方程为
为参数）.
代入
得
设点
对应的参数分别为
由
的几何意义可得
（注：
此题也可直接求
两点坐标，再用两点间的距离公式求出
.）
24.【解析】
时，即求解
时，不等式即
②当
③当
∴综上，原不等式解集为
（2）即
恒成立
则由函数
的图象可得它的最大值为4，
故函数
的图象应该恒在函数
的图象的上方，
数形结合可得
的范围是
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