高考理科数学直线及其方程复习教案Word下载.docx

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（2）斜截式：

已知直线在轴上的截距b和斜率，则直线方程为__________，它不包括垂直于x轴的直线．

（3）两点式：

已知直线经过两点P1（x1，1），P2（x2，2）（其中x1≠x2，1≠2），则直线方程为________，它不包括垂直于坐标轴的直线．

（4）截距式：

已知直线在x轴和轴上的截距分别为a，b（其中a≠0，b≠0），则直线方程为____________，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．

（）一般式：

任何直线的方程均可写成______________的形式．

基础自测

1．直线x＋3＋1＝0的倾斜角是（　　）．

A．π6B．π3．23πD．6π

2．已知A（3,1），B（－1，），（8,11）三点共线，则的取值是（　　）．

A．－6B．－7．－8D．－9

3．斜率为2的直线的倾斜角α所在的范围是（　　）．

A．0°

＜α＜4°

B．4°

＜α＜90°

．90°

＜α＜13°

D．13°

＜α＜180°

4．直线l：

ax＋－2－a＝0在x轴和轴上的截距相等，则a的值是（　　）．

A．1B．－1．－2或－1D．－2或1

．若直线ax＋b＋＝0经过第一、二、三象限，则有（　　）．

A．ab＞0，b＞0B．ab＞0，b＜0

．ab＜0，b＞0D．ab＜0，b＜0

思维拓展

1．如何正确理解直线的倾斜角与斜率的关系？

提示：

（1）所有的直线都有倾斜角，当直线与x轴垂直，即倾斜角为π2时，斜率不存在；

（2）直线倾斜角的范围为[0，π），因为正切函数在[0，π）上不单调，所以在研究斜率与倾斜角的关系时，可结合正切函数在0，π2∪π2，π的图像，对其在0，π2和π2，π上的变化情况分别讨论．

2．求直线方程时，应注意什么？

（1）因为点确定直线的位置，斜率确定直线的方向，所以求直线方程时可从寻求点的坐标或直线的斜率入手，再选择合适的形式写出直线的方程；

（2）有时也可先设出直线的方程，再利用待定系数法确定其中的参数．此时，一定要注意斜率不存在的情况．一、直线的倾斜角与斜率

【例1】已知A（－2,3），B（3,2），过点P（0，－2）的直线l与线段AB没有公共点，则直线l的斜率的取值范围是__________．

方法提炼直线倾斜角的范围是[0，π），但这个区间不是正切函数的单调区间．因此在考虑倾斜角与斜率的关系时，要分0，π2与π2，π两种情况讨论．由正切函数图像可以看出，当α∈0，π2时，斜率∈[0，＋∞）；

当α＝π2时，斜率不存在；

当α∈π2，π时，斜率∈（－∞，0）．

请做[针对训练]1

二、求直线的方程

【例2】已知直线l过（2,1），（,3）两点，求直线l的方程．

方法提炼用待定系数法求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意所选方程的适用条．无论选择哪种直线方程的形式，最后结果都要化成一般式．

请做[针对训练]4

三、直线方程的应用

【例3－1】已知点A（2,）与点B（4，－7），试在轴上求一点P，使得|PA|＋|PB|的值为最小．

【例3－2】已知两直线l1：

x＋2＝0，l2：

4x＋3＋＝0及定点A（－1，－2），求过l1，l2的交点且与点A的距离等于1的直线l的方程．

方法提炼在求直线方程的过程中，若有以直线为载体的面积、距离的最值等问题，一般要结合函数、不等式或利用对称加以解决．

请做[针对训练]考情分析

通过对近几年的高考试题的统计分析可以看出，对于直线方程的考查，一是考查直线倾斜角与斜率的关系、斜率公式；

二是考查求直线的方程．从分析五种直线方程成立的条入手，确定相应的量是确定直线方程的关键．用待定系数法求直线方程时，要特别注意斜率不存在的情况．单独考查直线方程的题目较少，主要是以直线方程为载体，与其他知识相交汇进行综合考查．

针对训练

1．直线xsinα－＋1＝0的倾斜角的变化范围是（　　）．

A．0，π2B．（0，π）．－π4，π4D．0，π4∪3π4，π

2．（2011东临沂模拟）直线xsθ＋3＋2＝0的倾斜角的取值范围为__________．

3．（2011广东广州高三调研）已知直线l经过坐标原点，且与圆x2＋2－4x＋3＝0相切，切点在第四象限，则直线l的方程为__________．

4．若直线l过点P（－2,3），与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程．

．已知直线l过点P（3,2），且与x轴、轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△AB的面积的最小值及此时直线l的方程．

参考答案

基础梳理自测

知识梳理

1．

（1）①正向　向上　0°

　②0°

≤α＜180°

（2）①正切值　tanα　90°

　②2－1x2－x1

2．

（1）－0＝（x－x0）　垂直于x轴

（2）＝x＋b　（3）－12－1＝x－x1x2－x1

（4）xa＋b＝1　（）Ax＋B＋＝0（其中A，B不同时为0）

1．D　解析：

∵直线的斜截式方程为＝－33x－33，

∴其斜率为－33

∴其倾斜角为6π

2．B　解析：

∵A，B，三点共线，

∴－1－1－3＝11－18－3

∴＝－7

3．B　解析：

由tanα＝2，结合正切函数在0，π2∪π2，π的图像，

易知4°

4．D　解析：

当直线l过原点时，则－2－a＝0，即a＝－2；

当直线l不过原点时，原方程可化为xa＋2a＋a＋2＝1，

由a＋2a＝a＋2，得a＝1

所以a的值为－2或1

．D　解析：

显然直线斜率存在，直线方程可化为＝－abx－b，

因为直线过第一、二、三象限，

所以有－ab＞0，－b＞0，

即ab＜0，b＜0

考点探究突破

【例1】－2，43　解析：

如图，由斜率公式得AP＝－2－30－（－2）＝－2，BP＝－2－20－3＝43，

当直线l从与x轴平行位置绕P点逆时针旋转到直线PB位置但不与PB重合时满足题意，

其斜率l满足0≤＜PB＝43；

当直线l从AP位置（与AP不重合）绕P点逆时针旋转到与x轴平行的位置时，其斜率满足AP＜＜0，即－2＜＜0

综上所述的取值范围是－2＜＜43

【例2】解：

当＝2时，直线l的方程为x＝2；

当≠2时，直线l的方程为－13－1＝x－2－2，即2x－（－2）＋－6＝0

因为＝2时，方程2x－（－2）＋－6＝0，即为x＝2，

所以直线l的方程为2x－（－2）＋－6＝0

【例3－1】解：

如图所示，先求出A点关于轴的对称点A′（－2,），

直线A′B的方程为＋7＋7＝x－4－2－4，

化简为2x＋－1＝0

令x＝0，得＝1

故所求P点坐标为P（0,1）．

【例3－2】解：

先利用“过l1、l2的交点”写出直线系方程，再根据“l与A点距离等于1”确定参数．过l1、l2交点的直线系方程是x＋2＋λ（4x＋3＋）＝0，λ是参数．化为（1＋4λ）x＋3λ＋（2＋λ）＝0①，由

|－1×

（1＋4λ）＋（－2）×

3λ＋（2＋λ）|（1＋4λ）2＋（3λ）2＝1，

得λ＝0代入方程①，得x＋2＝0因为直线系方程①中不包含l2，所以应检验l2是否也符合已知条．因A（－1，－2）到l2的距离为|－4－6＋|42＋32＝1，l2也符合要求．

故直线l的方程为x＋2＝0和4x＋3＋＝0

演练巩固提升

直线xsinα－＋1＝0的斜率是＝sinα，

又∵－1≤sinα≤1，∴－1≤≤1

当0≤≤1时，倾斜角的范围是0，π4；

当－1≤＜0时，倾斜角的范围是3π4，π

2．0，π6∪6π，π　解析：

把直线方程化为斜截式＝－33sθ&

#8226;

x－233，

则＝－33sθ

∵－33≤≤33，

∴0≤α≤π6或6π≤α＜π

3．＝－33x　解析：

将圆的一般方程化为标准方程：

（x－2）2＋2＝1，圆心为（2,0），半径r＝1，如图，经过原点的圆的切线的倾斜角为10°

，切线的斜率为tan10°

＝－33，切线方程为＝－33x4．解：

由题意知，直线l的斜率存在，设为，

则l的方程为－3＝（x＋2）．

令x＝0，得＝2＋3；

令＝0，得x＝－3－2，

则12&

|2＋3|&

－3－2＝4，

∴（2＋3）3＋2＝±

8

若（2＋3）3＋2＝8，化简得42＋4＋9＝0，方程无解；

若（2＋3）3＋2＝－8，化简得42＋20＋9＝0，

解得＝－92或－12

∴直线l的方程为－3＝－92（x＋2）或－3＝－12（x＋2），

即9x＋2＋12＝0或x＋2－4＝0

．解：

解法一：

设A（a,0），B（0，b）（a＞0，b＞0），则直线l的方程为xa＋b＝1

∵l过点P（3,2），

∴3a＋2b＝1，b＝2aa－3

从而S△AB＝12a&

b＝12a&

2aa－3＝a2a－3

故有S△AB＝（a－3）2＋6（a－3）＋9a－3

＝（a－3）＋9a－3＋6

≥2（a－3）&

9a－3＋6＝12，

当且仅当a－3＝9a－3，

即a＝6时，（S△AB）in＝12，

此时b＝2×

66－3＝4

∴所求直线l的方程为x6＋4＝1，

即2x＋3－12＝0

解法二：

设直线方程为xa＋b＝1（a＞0，b＞0），

代入P（3,2），得3a＋2b＝1≥26ab，

得ab≥24，从而S△AB＝12ab≥12，

当且仅当3a＝2b时，等号成立，

此时＝－ba＝－23，

∴－2＝－23（x－3），

∴所求直线l的方程为2x＋3－12＝0

解法三：

依题意知，直线l的斜率存在．

设直线l的方程为－2＝（x－3）（＜0），

则有A（3－2，0），B（0,2－3），

∴S△AB＝12（2－3）3－2

＝1212＋（－9）＋4（－）

≥1212＋2（－9）&

4（－）

＝12（12＋12）＝12，

当且仅当－9＝4－，即＝－23时，等号成立．

故所求直线l的方程为2x＋3－12＝0