山东临清三中高中数学331两条直线的交点坐标教案新人教A版必修2Word格式文档下载.docx
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提出问题
1已知两直线Ii：
Aix+Biy+Ci=O,l2：
A2x+B2y+C2=0,如何判断这两条直线的关系?
2如果两条直线相交，怎样求交点坐标？
交点坐标与二元一次方程组有什关系？
3解下列方程组（由学生完成）：
3x
（i）
4y2°
；
（丘
2x
）
6y
1
3
0,2x
；
（说）
0,
y20
y
x
2
如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？
4当入变化时，方程3x+4y-2+入（2x+y+2）=0表示什么图形，图形有什么特点？
求出图
形的交点坐标.
讨论结果：
①教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看下表，并填空
几何兀素及关系
代数表示
点A
A（a,b）
直线I
I:
Ax+By+C=0
点A在直线上
直线I1与12的交点A
②学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组的
关系.
设两条直线的方程是Ii：
Aix+By+C=O,l2：
A2x+By+G=0,
如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的
唯一公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线I1和12的交点，因此,两条直线是否有交点
就要看这两条直线方程所组成的方程组宀BiyCi°
是否有唯一解
A2xB2yC20
（i）若二元一次方程组有唯一解，则I1与I2相交；
（ii）若二元一次方程组无解，则Ii与12平行；
（iii）若二元一次方程组有无数解，则Ii与I2重合.即
唯一解li、l相交，
转化直线Ii、12联立得方程组无穷多解I"
.重合，
无解Ii、l平行.
（代数问题）（几何问题）
③引导学生观察三组方程对应系数比的特点：
Ii：
Aix+Biy+Ci=0,12：
A2x+B2y+G=0（AiBC工0,A2B2C2M0）,有
唯一解ABLiii2相交,
A2B2
方程组Ax
Biy
Ci
无穷多解
Ai
Bi
CiIiI2重合,
A2x
B?
C2
A2
B2
无解A
IlI2平行•
A
注意：
（a）此关系不要求学生作详细的推导，因为过程比较繁杂，重在应用.
（b）如果Ai,A2,Bi,B2,Ci,C2中有等于零的情况，方程比较简单，两条直线的位置关系很容易确定•
④（a）可以用信息技术，当入取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上
得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点
（b）找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论
（C）结论：
方程表示经过这两条直线Ii与I2的交点的直线的集合•
应用示例
例I求下列两直线的交点坐标,Ii：
3x+4y-2=0,l2：
2x+y+2=0.
解:
解方程组3Xy20,得x=-2,y=2,所以Ii与I2的交点坐标为M（-2,2）.2xy20,
变式训练
求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程」i：
x-2y+2=0,I2：
2x-y-2=0.
解方程组x-2y+2=0,
2x-y-2=0,得x=2,
y=2,所以Ii与I2的交点是（2,2）.
设经过原点的直线方程为y=kx,把点（2,2）的坐标代入以上方程，得k=1,所以所求直线方程
为y=x.
点评：
此题为求直线交点与求直线方程的综合运用，求解直线方程也可应用两点式.
例2判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.
（1）1i:
x-y=0，l2：
3x+3y-10=0.
（2）li:
3x-y+4=0，l2：
6x-2y-1=0.
（3）li:
3x+4y-5=0，12:
6x+8y-10=0.
活动：
教师让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁,
然后再进行讲评.
55
所以丨1与12相交，交点是（5,5）.
33
⑵解方程组3xy40,
（1）
6x2y10,
（2）
①X2-②得9=0,矛盾，
方程组无解，所以两直线无公共点，11//I2.
&
、工”3x4y50,
（1）
（3）解万程组
6x8y100,⑵
①X2得6x+8y-10=0.
因此,①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线,11与I2重合.
判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点
（1）11：
7x+2y-仁0,12：
14x+4y-2=0.
（2）11:
（、.3--■2）x+y=7,12：
x+（'
.3+■■■2）y-6=0.
（3）11：
3x+5y-仁0,12：
4x+3y=5.
答案：
（1）重合，
（2）平行，（3）相交，交点坐标为（2,-1）.
例3求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-仁0平行的直线方程.
思路解析：
根据本题的条件，一种思路是先求出交点坐标，再设所求直线的点斜式方程
求出所要求的直线方程；
另一种思路是利用直线系（平行系或过定点系）直接设出方程，根据条件求未知量，得出所求直线的方程.
•••直线l和直线3x+y-仁0平行，
•••直线I的斜率k=-3.
73
•根据点斜式有y-（）=-3:
x-（门，
55
即所求直线方程为15x+5y+16=0.
（方法二）•••直线I过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点,•设直线I的方程为2x-3y-3+入（x+y+2）=0,
即（入+2）x+（入-3）y+2入-3=0.
•••直线I与直线3x+y-仁0平行，
从而所求直线方程为15x+5y+16=0.
考查熟练求解直线方程，注意应用直线系快速简洁解决问题。
求经过两条直线11:
x+y-4=0和I2：
x-y+2=0的交点，且与直线2x-y-1=0垂直的直线方程
例4求证：
不论m取什么实数，直线（2m-1）x+（m+3）y-（m-11）=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标.
题目所给的直线方程的系数含有字母m给m任何一个实数值，就可以得到
一条确定的直线，因此所给的方程是以m为参数的直线系方程.要证明这个直线系中的直线
都过一定点，就是证明它是一个共点的直线系，我们可以给出m的两个特殊值，得到直线系
中的两条直线，它们的交点即是直线系中任何直线都过的定点
另一个思路是：
由于方程对任意的m都成立，那么就以m为未知数，整理为关于m的一元一次方程，再由一元一次方程有无数个解的条件求得定点的坐标
解：
解法一：
对于方程（2m-1）x+（m+3）y-（m-11）=0，令m=0得x-3y-11=0;
令m=1得
x+4y+10=0.解方程组x-3y-110，得两条直线的交点为（2,-3）.将点（2,-3）代入已知
x4y100,
直线方程左边，
得（2m-1）x2+（m+3）x（-3）-（m-11）=4m-2-3m-9-m+11=0.
这表明不论m为什么实数，所给直线均经过定点（2,-3）.
解法二：
将已知方程以m为未知数，整理为（2x+y-1）m+（-x+3y+11）=0.
由于m的取值的任意性，有
2xy-1°
’解得％2,
-x3y110.y-3.
所以所给直线不论m取什么实数，均经过定点（2,-3）
点评含参直线过定点问题的解题思路有二：
一是曲线过定点，即与参数无关，则参数的同次幕的系数为0,从而求出定点；
二是分别令参数为两个特殊值，得方程组，求出点的
坐标，代入原方程满足，则此点为所求定点
变式训练当a为任意实数时，直线（a-1）x-y+2a+仁0经过的定点是（）
A.（2,3）B.（-2,3）
i1
C.（1,-）D.（-2,0）
x20x2
解析：
直线方程可化为a（x+2）-x-y+仁0,由'
得'
定点（-2,3）.
xy10y3.
B
课堂小结
本节课通过讨论两直线方程联立方程组来研究两直线的位置关系，得出了方程系数比
的关系与直线位置关系的联系.培养了同学们的数形结合思想、分类讨论思想和转化思想.
通过本节学习，要求学生掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点.当两条直线相
交时，会求交点坐标.注意语言表述能力的训练.通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对
解析法的理解，培养转化能力.以“特殊”到“一般”，培养探索事物本质属性的精神，以
及运动变化的相互联系的观点.
当堂检测
导学案课内探究部分
【板书设计】
一、两条直线的交点坐标
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】
课本习题3.3A组1、2、3,选做4题.及导学案课后练习与提高
3.3.1两条直线的交点坐标
3.3.2
课前预习学案
一、预习目标
二、预习内容
1、阅读课本102-104，找出疑惑之处。
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑,
请填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
2、知识概览
1两直线相交，则交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是两直线方程的解，若两直
线的方程组成的方程组只有一个公共解，则以这个解为坐标的点必是两直线的交点
AxB“vC,0,
2两直线Aix+Biy+Ci=O与A2X+B2y+C2=0的交点情况,取决于方程组1
A2xB2yC20
的解的情况•
若方程组
Ax
B,y
有唯一解，则两直线相交•
0，
无解，则两直线平行•
，有无数个解，则两直线重合
3、思考当入变化时，方程3x+4y-2+入
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