浙江师范大学《初等数论》考试卷(A1卷)Word文档格式.docx
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p
）
6、
，p，q为奇素数
7、2，29
8、a，b是两个整数，b>
0,则存在两个惟一的整数q，r使得
a=bq+r,0£
r<
b
二、解同余方程组（12分）
ì
xº
-2（mod12）
ï
xº
6（mod10）
í
1（mod15）
î
解：
因为（12，10）|6-（-2），（10，15）|6-1，（12，15）|1-（-2）
所以同余式组有解
-2（mod4）
-2（mod3）xº
6（mod2）
6（mod5）
ï
1（mod3）
1（mod5）
í
原方程等价于方程
即
-2（mod4）
-2（mod3）xº
1（mod5）
由孙子定理得
46（mod60）
î
三、 A、叙述威尔逊定理。
B．证明若（m-1）!
+1º
0（modm），则m为素数（10分）
A．（威尔逊定理）整数
是素数，则
证：
若m不是素数，则m=ab，1á
a,bá
m，则a|（m-1）!
a|（m-1）!
+1，则有a|1
不可能，所以m是素数。
x4+7x+4≡0（mod２７）
（10分）
四．解方程
由x4+7x+4≡0（mod3）得xº
1（mod3）得x=1+3t代入
x=4+9t1
x4+7x+4≡0（mod9）有11tº
-1（mod3）有t=1+3t1代入x=1+3t得代入x4+7x+4≡0（mod27）有-t1º
-2（mod3）t1=2+3t2代入有x=22+27t2，
即xº
22（mod27）
设2Ｐ+1为素数,试证（p!
）2+（-1）pº
0（mod2p+1）（10分）
因n=2Ｐ+1为素数，由威尔逊定理（n-1）!
0（modn）即有
（n-1）!
（n-1）（n-2）L3×
2×
1º
1×
（n-1）×
（n-2）Lp（n-p）+1（modn）
º
（p!
）2（-1）p+1º
0（mod2p+1）即证
z=3z1，
六、设P=4n+3是素数，证明当q=2p+1也是素数时，梅森数MP=2P-1不是素数。
（10
分）
（2）
因q=8n+7，由性质2是q=8n+7的平方剩余，
q|24n+3-1
所以梅森数MP=2P-1不是素数。
七、证x3+3y3=9z3
无正整数解。
（8分）
1（modq）
假设x3+3y3=9z3有解，设（x，y，z）是一组正整数解，则有x是3的倍
数，设x=3x,又得到y为3的倍数，设y=3y1,又有
1
有解（x1,y1,z1）且z>
z1
这样可以一直进行下去，z>
z1>
z2>
z3>
z4>
…
但是自然数无穷递降是不可能的，于是产生了矛盾
x3+3y3=9z3则
八、设n是大于2的整数，证明j（n）为偶数（10分）
因为（-1，n）=1，由欧拉定理有
（-1）j（n）º
1（modn），因为n大于2，只有j（n）为偶数。
浙江师范大学《初等数论》考试卷（B1卷）
（2004——2005学年第一学期）
1、d（37）= 。
σ（37）=
2、φ
（1）＋φ（P）＋…φ（Pn）=
3、不能表示成5X+3Y（X、Y非负）的最大整数为 。
4、7在2004！
中的最高幂指数是 。
5、（1501，300）= 。
7、P为素数，（p-1）!
0（modp）
8、1，5
9、5
6、axº
b（modm）有解的充要条件是
7、威尔逊定理是 。
8、写出6的一个绝对值最小的简化系 。
818482L4388´
616462L4636
9、 50 50 被7除后的余数为 。
答案:
1、2，38
2、pn
3、7
4、331
5、1
6、（a,m）|b
2（mod5）
3（mod8）
1（mod7）
因为5,7,8两两互素,所以可以利用孙子定理.
M1=56,M2=35,M3=40,m=280.
解同余式
56M,º
1（mod5） 35M,º
1（mod8）
2
40M,º
1（mod7）
3
得到
M 1,M 3,M 3
=
2=
3=
.
于是所求的解为
56´
1´
2+35´
3´
3+40´
1（mod140）
267（mod280）
所以xº
267（mod280）.
三、证明当n是奇数时，有3（2n+1）.（10分）
证明：
因为2º
-1（mod3）,所以
2n+1º
（-1）n+1（mod3）.
于是,当n是奇数时,我们可以令n=2k+1.
从而有2n+1º
（-1）2k+1+1º
0（mod3）,
3（2n+1）
即 .
四、如果整系数的二次三项式p（x）=x2+bx+c当x=0,1
p（x）=0没有整数根（8分）
时的值都是奇数，证明
由条件可得c为奇数，b为偶数
如果p（x）=0有根q，若q为偶数，则有q2+bq+c为奇数，而p（q）=0为偶数，不可能，若q为奇数，则有q2+bq+c为奇数，而p（q）=0为偶数，也不
可能，所以
p（x）=0没有整数根
五、解方程45xº
21（mod132）.（10分）
解因为（45,132）=3¦
21,所以同余式有
我们再解不定方程
3个解.
将同余式化简为等价的同余方程
15x-44y=7, 得到一解（21,7）.
因此同余式的3个解为
21（mod132）,
15xº
7（mod44）.
21+132（mod132）º
65（mod132）3 ,
21+2´
132（mod132）º
109（mod132）
六、证明：
用算术基本定理证明3是无理数。
假设 3是有理数，则存在二个正整数p，q，使得 3=q，由对数定义可
得有3q2=p2,则同一个数左边含奇数个因子，右边含偶数个因子，与算术基本定理矛盾。
∴ 3为无理数。
七、证明：
对任何正整数ｎ,若ｎ不能被4整除，则有
5|1n+2n+3n+4n
（10分）
则题意知n=4q+r，r=1，2，3。
因为（i,5）=1,i=1,2,3,4所以有i4º
当r=1时有1+2+3+4º
0（mod5）
当r=2时有12+22+32+42º
当r=3时有13+23+33+43º
从而证明了结论。
八、解不定方程4x+5y=10（10分）
因为（4，5）=1，所以方程有解，
由观察得有特解x=0，y=2
所以方程的解为
浙江师范大学《初等数论》考试卷（C1卷）
七、 填空（30分）
1、d（31）= 。
σ（3600）= 。
2、四位数3AA1被9整除，则A= 。
3、17X+2Y=3通解为 。
4、费尔马大定理是 。
5、写出12的一个简化系，要求每项都是5的倍数 。
6、{-2.4}=
7、0.4&
28571&
化为分数是 。
8、15！
的标准分解是 。
9、1000到2003的所有整数中13的倍数有
个。
12493
1、2，
2、7
xn+yn=zn（n³
3）无正整数解
3、x=1+2t,y=-2-17t,tÎ
Z
4、
（欧拉定理）若
设
则
是模
的一组互素剩余系．
由§
2.2定理知
互素剩余系．
又
5、5，25，35，55
6、0．6
7、7
8、211×
36×
53×
72×
11×
13
9、78
八、解同余方程组（12分）
3（mod4）
6（mod7）
因为4,5,7两两互素,所以可以利用孙子定理求解.
M1=35,M2=28,M3=20,m=140.
35M,º
1（mod4） 28M,º
1（mod5）
20M,º
M
1
=-
1,M 2,M
3=
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