浙江师范大学《初等数论》考试卷(A1卷)Word文档格式.docx

1、p）6、，p，q 为奇素数7、2，298、a，b 是两个整数，b0,则存在两个惟一的整数q，r 使得 a = bq + r,0 r z1这样可以一直进行下去，zz1z2z 3z4但是自然数无穷递降是不可能的，于是产生了矛盾x 3 + 3y 3 = 9z 3 则八、设n 是大于 2 的整数，证明j（n） 为偶数（10 分）因为（-1，n）=1，由欧拉定理有（-1）j （n） 1（mod n） ，因为n 大于 2，只有 j（n） 为偶数。浙江师范大学初等数论考试卷（B1 卷）（20042005 学年第一学期）1、d（37）=。（37）=2、（1）（P）（ Pn ）=3、不能表示成 5X+3Y（X、

2、Y 非负）的最大整数为。4、7 在 2004！中的最高幂指数是。5、（1501 ，300）=。7、P 为素数， （ p -1）! 0（mod p）8、1，59、56、 ax b（mod m） 有解的充要条件是7、威尔逊定理是。8、写出 6 的一个绝对值最小的简化系。818482L4388 616462L46369、5050被 7 除后的余数为。答案:1、2，382 、 pn3、74、3315、16、 （a, m） | b 2（mod5） 3（mod8）1（mod7）因为 5,7,8 两两互素, 所以可以利用孙子定理.M 1 = 56, M 2 = 35, M 3 = 40, m = 280 .

3、解同余式56M , 1（mod 5）35M , 1（mod 8）,240M , 1（mod 7）3得到M1, M3, M3=2 =3 =.于是所求的解为 56 12 + 35 3 3 + 40 1（mod140） 267（mod 280）所以 x 267（mod 280）.三、证明当n 是奇数时，有3（2n +1） .（10 分）证明： 因为 2 -1（mod 3） , 所以2n + 1 （-1）n + 1（mod 3） .于是, 当 n 是奇数时, 我们可以令 n = 2k + 1.从而有 2n +1 （-1）2k+1 + 1 0（mod 3） ,3 （2n + 1）即.四、如果整系数的二次

4、三项式 p（x） = x 2 + bx + c当x = 0,1p（x） = 0 没有整数根（8 分）时的值都是奇数， 证明由条件可得c 为奇数，b 为偶数如果p（x）=0 有根 q，若q 为偶数，则有 q 2 + bq + c 为奇数，而p（q）=0 为偶数，不可能，若q 为奇数，则有 q 2 + bq + c 为奇数，而 p（q）=0 为偶数，也不可能，所以p（ x） = 0 没有整数根五、解方程45x 21（mod132） .（10 分）解 因为（45,132）=321,所以同余式有我们再解不定方程3 个解.将同余式化简为等价的同余方程15x - 44 y = 7 ,得到一解（21,7）.

5、因此同余式的 3 个解为 21（mod132） ,15x 7（mod 44） . 21 + 132 （mod132） 65（mod132） 3, 21 + 2 132 （mod132） 109（mod132）六、证明：用算术基本定理证明 3 是无理数。假设3 是有理数，则存在二个正整数 p ，q，使得3 = q ，由对数定义可得有 3 q 2 = p 2 , 则同一个数左边含奇数个因子，右边含偶数个因子，与算术基本定理矛盾。3 为无理数。七、证明：对任何正整数,若不能被4 整除，则有5|1n + 2n + 3n + 4 n（10 分）则题意知n=4q+r，r=1，2，3。因为（i,5） =1,

6、i=1,2,3,4 所以有i 4 当r=1 时有1+ 2 + 3 + 4 0（mod 5） 当 r=2 时有12 + 22 + 32 + 42 当r=3 时有13 + 23 + 33 + 43 从而证明了结论。八、解不定方程 4x + 5 y = 10 （10 分）因为（4，5）=1，所以方程有解，由观察得有特解x=0，y=2所以方程的解为浙江师范大学初等数论考试卷（C1 卷）七、填空（30 分）1、d（31）=。（3600）=。2、四位数3AA1被 9 整除，则A=。3、17X+2Y=3 通解为。4、费尔马大定理是。5、写出 12 的一个简化系，要求每项都是5 的倍数。6、- 2.4=7、

7、0.4& 28571& 化为分数是。8、15！的标准分解是。9、1000 到 2003 的所有整数中13 的倍数有个。124931、2，2、7xn + yn = z n（n 3） 无正整数解3、 x = 1 + 2t, y = -2 -17t,t Z4、（欧拉定理）若设则是模的一组互素剩余系由 2.2 定理知互素剩余系又5、5，25，35，556、067 、 78、 211 36 53 72 11139、78八、解同余方程组（12 分） 3（mod4） 6（mod7）因为 4,5,7 两两互素, 所以可以利用孙子定理求解.M 1 = 35, M 2 = 28, M 3 = 20, m = 140 .35M , 1（mod 4）28M , 1（mod 5）20M , M, 1= -1, M2, M3 =