高考总复习优化设计1轮理科数学人教A课时规范练13 函数模型及其应用附答案文档格式.docx
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图①
图②
（1）分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式;
（2）已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部资金投入到A,B两种产品的生产中.①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润?
②如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利润?
其最大利润为多少万元?
5.某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:
服药后每毫升血液中的含药量y（单位:
μg）与时间t（单位:
h）之间的关系近似满足如图所示的曲线.
（1）写出第一次服药后y与t之间的函数解析式y=f（t）;
（2）据进一步测定:
当每毫升血液中含药量不少于0.25μg时,治疗有效.求服药一次后治疗有效的时间.
6.A,B两城相距100km,在两城之间距A城xkm处建一核电站给A,B两城供电,为保证城市安全,核电站与城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离（单位:
km）的平方与供电量（单位:
亿千瓦时）之积的0.25倍,若A城供电量为每月20亿千瓦时,B城供电量为每月10亿千瓦时.
（1）求x的取值范围;
（2）把月供电总费用y表示成x的函数;
（3）核电站建在距A城多远,才能使供电总费用y最少?
〚导学号21500519〛
综合提升组
7.某市明年计划投入600万元加强民族文化基础设施改造.据调查,改造后预计该市在一个月内（以30天计）,民族文化旅游人数f（x）（单位:
万人）与时间x（单位:
天）的函数关系近似满足f（x）=4
人均消费g（x）（单位:
元）与时间x（单位:
天）的函数关系近似满足g（x）=104-|x-23|.
（1）求该市旅游日收益p（x）（单位:
万元）与时间x（1≤x≤30,x∈N*）的函数关系式;
（2）若以最低日收益的15%为纯收入,该市对纯收入按1.5%的税率来收回投资,按此预计两年内能否收回全部投资.
8.（2017江苏无锡模拟）某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月,预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数:
①f（x）=p·
qx;
②f（x）=px2+qx+1;
③f（x）=x（x-q）2+p（以上三式中p,q均为常数,且q>
1）.
（1）为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数（不必说明理由）?
（2）若f（0）=4,f
（2）=6,求出所选函数f（x）的解析式（注:
函数定义域是[0,5],其中x=0表示8月1日,x=1表示9月1日,以此类推）;
（3）在
（2）的条件下研究下面课题:
为保证养殖户的经济效益,当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销,请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌.
〚导学号21500520〛
9.现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是底面为正方形的四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱（底面为正方形的直棱柱）ABCD-A1B1C1D1（如图所示）,并要求正四棱柱的高O1O是四棱锥的高PO1的4倍,O1,O分别为底面中心.
（1）若AB=6m,PO1=2m,则仓库的容积是多少?
（2）若四棱锥的侧棱长为6m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?
创新应用组
10.（2017江苏南京、盐城二模）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD,然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的长方体纸盒（如图）.设小正方形的边长为x厘米,矩形纸板的两边AB,BC的长分别为a厘米和b厘米,其中a≥b.
（1）当a=90时,求纸盒侧面积的最大值;
（2）试确定a,b,x的值,使得纸盒的体积最大,并求出最大值.
〚导学号21500521〛
参考答案
课时规范练13 函数模型
及其应用
1.C 设利润为f（x）万元,则f（x）=25x-（3000+20x-0.1x2）=0.1x2+5x-3000（0<
240,x∈N*）.
令f（x）≥0,得x≥150,∴生产者不亏本时的最低产量是150台.
2.B 由题意,设利润为y元,租金定为（3000+50x）元（0≤x≤70,x∈N）,
则y=（3000+50x）（70-x）-100（70-x）
=（2900+50x）（70-x）=50（58+x）（70-x）
≤50
=204800,
当且仅当58+x=70-x,即x=6时,等号成立,
故每月租金定为3000+300=3300（元）时,公司获得最大利润,故选B.
3.D 已知s=
t2,车与人的间距d=（s+25）-6t=
t2-6t+25=
（t-6）2+7.
当t=6时,d取得最小值7.
4.解
（1）设A,B两种产品都投资x万元（x≥0）,所获利润分别为f（x）万元、g（x）万元,由题意可设f（x）=k1x,g（x）=k2
根据题图可得f（x）=0.25x（x≥0）,g（x）=2
（x≥0）.
（2）①由
（1）得f（9）=2.25,g（9）=2
=6,故总利润y=8.25（万元）.
②设B产品投入x万元,A产品投入（18-x）万元,该企业可获总利润为y万元,
则y=
（18-x）+2
0≤x≤18.
令
=t,t∈[0,3
],
（-t2+8t+18）
=-
（t-4）2+
.
故当t=4时,ymax=
=8.5,
此时x=16,18-x=2.
所以当A,B两种产品分别投入2万元、16万元时,可使该企业获得最大利润8.5万元.
5.解
（1）根据所给的曲线,
可设y=
当t=1时,由y=4,得k=4,
由
=4,得a=3.
（2）由y≥0.25,得
解得
≤t≤5.
因此服药一次后治疗有效的时间为5-
（h）.
6.解
（1）由题意可知x的取值范围为10≤x≤90.
（2）y=5x2+
（100-x）2（10≤x≤90）.
（3）因为y=5x2+
（100-x）2=
x2-500x+25000
=
所以当x=
时,ymin=
故核电站建在距A城
km处,才能使供电总费用y最少.
7.解
（1）由题意知p（x）=f（x）g（x）
=4
（104-|x-23|）（1≤x≤30,x∈N*）.
（2）由p（x）=
①当1≤x≤23时,
p（x）=4
（81+x）
≥4
82+2
=400,
当且仅当x=
即x=9时,p（x）取得最小值400.
②当23<
x≤30时,
（127-x）
设h（x）=
-x,则有h'
（x）=-
-1<
0,
故h（x）在（23,30]上为减函数,则p（x）在（23,30]上也是减函数,所以当x=30时,p（x）min=4
=400
>
400.所以当x=9时,p（x）取得最小值400万元.
因为两年内的税收为400×
15%×
30×
12×
2×
1.5%=648>
600,所以600万元的投资可以在两年内收回.
8.解
（1）因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势,而中期又将出现价格连续下跌,所以在给出的函数中应选模拟函数f（x）=x（x-q）2+p.
（2）对于f（x）=x（x-q）2+p,
由f（0）=4,f
（2）=6,可得p=4,
（2-q）2=1,
又q>
1,所以q=3,
所以f（x）=x3-6x2+9x+4（0≤x≤5）.
（3）因为f（x）=x3-6x2+9x+4（0≤x≤5）,
所以f'
（x）=3x2-12x+9,
令f'
（x）<
0,得1<
3.
所以函数f（x）在（1,3）内单调递减,所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌.
9.解
（1）由PO1=2m知O1O=4PO1=8m.
因为A1B1=AB=6m,所以四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥=
·
A1
PO1=
×
62×
2=24（m3）;
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2·
O1O=62×
8=288（m3）.
所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312（m3）.
（2）设A1B1=am,PO1=hm,则0<
h<
6,O1O=4h.连接O1B1.
因为在Rt△PO1B1中,O1
+P
=P
所以
+h2=36,即a2=2（36-h2）.
于是仓库的容积V=V柱+V锥=a2·
4h+
a2·
h=
a2h=
（36h-h3）,0<
6,
从而V'
（36-3h2）=26（12-h2）.令V'
=0,得h=2
或h=-2
（舍）.
当0<
2
时,V'
0,V是单调增函数;
当2
<
6时,V'
0,V是单调减函数.
故h=2
时,V取得极大值,也是最大值.因此,当PO1=2
m时,仓库的容积最大.
10.解
（1）因为矩形纸板ABCD的面积为3600平方厘米,故当a=90时,b=40,所以纸盒的侧面积
S=2×
x（90-2x）+2×
x（40-2x）
=-8x2+260x,x∈（0,20）.
因为S=-8x2+260x=-8
故当x=
时,侧面积最大,最大值为
平方厘米.
（2）纸盒的体积
V=（a-2x）（b-2x）x=x[ab-2（a+b）x+4x2],x∈
b≤60.
V=x[ab-2（a+b）x+4x2]≤x（ab-4
x+4x2）
=x（3600-240x+4x2）
=4x3-240x2+3600x.
当且仅当a=b=60时等号成立.
设f（x）=4x3-240x2+3600x,
x∈（0,30）.
则f'
（x）=12（x-10）（x-30）.
于是当0<
10时,f'
（x）>
0,所以f（x）在（0,10）内单调递增;
当10<
30时,f'
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